Teoria - Assioma di Completezza

[Pylord]

Ciao, non riesco a trovare dei risultati di analisi matematica che si basano sull'assioma di completezza, potreste farmi qualche esempio? Grazie

[Mephlip]

Se si assume l'assioma di completezza, si dimostra l'esistenza dell'estremo superiore in $\mathbb{R}$ in ogni sottoinsieme $A \subseteq \mathbb{R}$ non vuoto e limitato dall'alto.

[Pylord]

Grazie. Mentre se si assume il teorema di permanenza del segno, cosa si può dimostrare? Pensavo al teorema del confronto, ossia che se una successione ammette limite ed ha i termini $ >=0 $ allora converge ad un numero $ >=0 $.

[pilloeffe]

Ciao StrilingAlQuadrato,

Ho trovato in Internet questo scritto di gugo82 che potrebbe interessarti...

[gugo82]

"pilloeffe":Ho trovato in Internet questo scritto di gugo82 che potrebbe interessarti...

Grazie per la citazione, pilloeffe, ma non credo che quanto scritto in quei fogli risponda alla domanda di StirlingAlQuadrato, cioè:

"StrilingAlQuadrato":non riesco a trovare dei risultati di analisi matematica che si basano sull'assioma di completezza, potreste farmi qualche esempio?

La risposta alla domanda, in buona sostanza, è la seguente.
Tutta l'Analisi Matematica dipende dalle proprietà che distinguono il campo reale $RR$ da quello razionale $QQ$, le quali proprietà -in realtà- sono una sola: la Proprietà di Completezza, i.e. l'esistenza dell'estremo superiore di insiemi limitati superiormente.

Infatti:

[*:3clowmnv] la possibilità di definire le potenze ad esponente non intero e tutte le funzioni elementari reali (e.g., il Teorema di Esistenza della Radice $n$-esima o del Logaritmo),

[/*:m:3clowmnv]
[*:3clowmnv] i risultati fondamentali sui limiti (e.g., il Criterio di Regolarità delle Successioni Monotone o il Criterio di Convergenza di Cauchy),

[/*:m:3clowmnv]
[*:3clowmnv] le proprietà topologiche della retta reale (e.g., il Teorema di Bolzano & Weierstrass o il Teorema di Heine & Borel),

[/*:m:3clowmnv]
[*:3clowmnv] le proprietà fondamentali delle funzioni continue (e.g., il Teorema degli Zeri),

[/*:m:3clowmnv]
[*:3clowmnv] i teoremi classici del Calcolo Differenziale (e.g., la trimurti dei Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy),

[/*:m:3clowmnv]
[*:3clowmnv] i fatti basilari del Calcolo Integrale (e.g., il Teorema di Integrabilità delle Funzioni Continue ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale)[/*:m:3clowmnv][/list:u:3clowmnv]

dipendono tutti -più o meno esplicitamente- dalla Proprietà di Completezza.
Studia e vedrai.

Inoltre:


"StrilingAlQuadrato":se si assume il teorema di permanenza del segno


un teorema, se è tale all'interno di una teoria, non si assume: si dimostra.