Teoria

[ale.vh1]

Ciao ragazzi, sono in difficoltà sul seguente esercizio.
Sia $ f:R->R $ si considerino le seguenti affermazioni:
(a)se f(x) è crescente sull'intervallo[0,2] allora anche f(2-x) lo è
(b)se f(x) è convessa sull'intervallo [0,2] allora anche f(2-x) lo è
(c)se f(x) è strettamente decrescente sull'intervallo [0.2] allora anche f(2-x) lo è
Dovrei verificare se esse sono errate o giuste,sapreste dirmi come muovermi?
Grazie anticipatamente

[zambozembo]

Considera che f(2-x) è la composizione della f(x) con una riflessione rispetto all'asse delle y e una traslazione. A questo punto, sapendo come si comporta f, puoi dedurre facilmente quali delle affermazioni e quali no.

[Vexx23*]

\(f(2-x)\) corrisponde ad una riflessione rispetto all'asse y e ad una traslazione indietro di 2, oppure puoi vederla come una composizione di trasformazioni, prima traslazione e poi riflessione o viceversa: \( f(x) \rightarrow f(x-2)\rightarrow f(-(x-2)) \rightarrow f(2-x)\).
La proprietà di convessità è invariante rispetto ad una riflessione verticale, la trasazione non modifica minimamente la forma della funzione. Perciò la seconda proprietà è vera.
Al contrario una funzione crescente diventa decrescente e viceversa se sottoposta ad una riflessione verticale, un po' come una 'salita' che si guarda allo specchio vede come immagine una 'discesa'. Per cui la terza proprietà è falsa.
Per quanto riguarda la prima, dal momento che non si specifica se la funzione è strettamente crescente, ma solamente crescente, si da per scontato che sia 'non decrescente' ossia, la funzione può o meno assumere un andamento crescente, oppure rimanere costante nell'intervallo; per questo motivo la prima affermazione è falsa da un punto di visto logico, però esiste un caso (funzione costante) in cui entrambi gli enunciati sono veri (ma non lo è l'implicazione che li lega).

[ale.vh1]

Un ultima cosa, dato che sto seguendo l'eserciziario passo passo, purtroppo senza aiuto del professore, per risolvere questi tipi di quesiti che argomenti mi consigliate di guardare?

[gugo82]

@ ale.vh: Beh, basta usare le definizioni!

Innanzitutto, nota che se $0\leq x \leq 2$ allora $0\leq 2-x\leq 2$, cosicché la funzione $g(x):=f(2-x)$ è definita in $[0,2]$.
Ora fissiamo $x_1,x_2 \in [0,2]$: poiché $f$ cresce, abbiamo:
\[
x_1 \]
dunque $g$ è decrescente ed a è falsa.
Lo stesso ragionamento, lievemente modificato, mostra che c è falsa.

D'altra parte, scelti $x_1,x_2\in [0,1]$ e $\lambda \in [0,1]$, se $f$ è convessa hai:
\[
\begin{split}
g(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) &= f\Big(2-(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\Big) \\
&= f\Big(\lambda (2-x_1)+(1-\lambda) (2-x_2)\Big) \\
&\leq \lambda f(2-x_1) + (1-\lambda) f(x_2) \\
&= \lambda g(x_1) + (1-\lambda) g(x_2)
\end{split}
\]
cosicché $g$ è convessa e b è vera.


@ zambozembo & Vexx23*: Gli argomenti geometrici servono a farsi un'idea della situazione, ma essi non forniscono delle dimostrazioni (se non vengono formalizzati adeguatamente).