Teoremi limiti..
Ciao a tutti.. Sto studiando i teoremi, solo che dagli appunti ho fatto un po di pasticci.. e non capisco.. qualcuno sa darmi una mano??
Mi servirebbe, enunciato + dimostrazione (ben fatta) di:
- Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima
E poi volevo chiedermi il nome di questo teorema, dato che non l ho annotato:
Per ogni intorno di $L1 + L2$ esiste un intorno di $Xo$ tale che $x$ appartiene all intorno di U ($x != Xo$), perciò $f(x) + g(x)$ appartengono all intorno di $L1 + L2$
Grazie!!
Mi servirebbe, enunciato + dimostrazione (ben fatta) di:
- Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima
E poi volevo chiedermi il nome di questo teorema, dato che non l ho annotato:
Per ogni intorno di $L1 + L2$ esiste un intorno di $Xo$ tale che $x$ appartiene all intorno di U ($x != Xo$), perciò $f(x) + g(x)$ appartengono all intorno di $L1 + L2$
Grazie!!
Risposte
[tex]c_n=a_n*b_n[/tex] [tex]|b_n| \le M[/tex] per ogni [tex]n[/tex]
[tex]|c_n|=|a_n*b_n|=|a_n|*|b_n|\le |a_n|*M[/tex]
Datosi che: [tex]0\le|c_n|\le |a_n|*M[/tex].
Sapendo che: [tex]\lim_{n \to \infty} a_n = 0[/tex].
Allora posto [tex]\epsilon = \epsilon^{'}*M[/tex] si ha [tex]0\le|c_n|\le |a_n|*M < \epsilon[/tex] a partire da un certo [tex]N[/tex] in poi per ogni
[tex]\epsilon^{'} > 0[/tex] fissato a piacere.
[tex]|c_n|=|a_n*b_n|=|a_n|*|b_n|\le |a_n|*M[/tex]
Datosi che: [tex]0\le|c_n|\le |a_n|*M[/tex].
Sapendo che: [tex]\lim_{n \to \infty} a_n = 0[/tex].
Allora posto [tex]\epsilon = \epsilon^{'}*M[/tex] si ha [tex]0\le|c_n|\le |a_n|*M < \epsilon[/tex] a partire da un certo [tex]N[/tex] in poi per ogni
[tex]\epsilon^{'} > 0[/tex] fissato a piacere.
Siano:
[tex]\left\{a_n\right\}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione limitata
[tex]\left\{b_n\right\}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione tale che [tex]$\lim_{n\to\infty} b_n=0[/tex]
allora
[tex]$\lim_{n\to\infty} a_n b_n = 0[/tex]
Adesso che hai il testo del teorema, è un buon esercizio trovare da solo una dimostrazione
Hint: Dalla definzione di successione limitata, esiste [tex]M>0[/tex] tale che [tex]|a_n|0 \,\,\exists \tilde{n}\in\mathbb{N} \text{ tale che } \forall n>\tilde{n}\text{ si ha }|b_n|<\frac{\varepsilon}{M}[/tex]... a questo punto penso tu abbia tutti gli strumenti per arrivare alla dimostrazione.
Per la seconda parte della domanda, mi pare che tu abbia scritto una formulazione del teorema sul limite della somma per le funzioni.
.
[Edit]: Ops, anticipato da regim
[tex]\left\{a_n\right\}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione limitata
[tex]\left\{b_n\right\}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione tale che [tex]$\lim_{n\to\infty} b_n=0[/tex]
allora
[tex]$\lim_{n\to\infty} a_n b_n = 0[/tex]
Adesso che hai il testo del teorema, è un buon esercizio trovare da solo una dimostrazione
Hint: Dalla definzione di successione limitata, esiste [tex]M>0[/tex] tale che [tex]|a_n|
Per la seconda parte della domanda, mi pare che tu abbia scritto una formulazione del teorema sul limite della somma per le funzioni.
.[Edit]: Ops, anticipato da regim
Mathematico:
[Edit] Ops, anticipato da regim :)
Avrà la scelta di quale gli sembra più aderente alle sue conoscenze attuali, penso preferisca quella che tratta gli epsilon come fai tu. Poi un giorno di questi capirà che non serve, e basta una quantità qualsiasi maggiore di zero purchè arbitraria.
PS
C'è qualcosa che non va' con la validazione del formato, non lo riconosce.
"regim":
[quote="Mathematico"] [Edit] Ops, anticipato da regim
Avrà la scelta di quale gli sembra più aderente alle sue conoscenze attuali, penso preferisca quella che tratta gli epsilon come fai tu. Poi un giorno di questi capirà che non serve, e basta una quantità qualsiasi maggiore di zero purchè arbitraria.
PS
C'è qualcosa che non va' con la validazione del formato, non lo riconosce.[/quote]
Certo, anzi prima lo impara e meglio è
Per il ps, probabilmente hai l'opzione bbcode disattivata, vai nel tuo profilo, sotto preferenze troverai la voce Abilita sempre BBCode: spunta sì, e conferma. Credo che questo risolverà il problema.
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