Teoremi da sapere per l'esame

[alexdr1]

Salve quali teoremi e dimostrazioni devo sapere per bene perché molto richiesti all'esame orale di analisi 1?
I macro argomenti sono: Insiemi, topologia, successioni, funzioni, limiti di successioni e funzioni, continuità, derivabilità, serie e integrazione.

Le definizioni ad esempio di punto di massimo relativo, funzione concava, flessi ecc... li devo anche sapere bene? Quali oltre questi?

Se è possibile sapere quanto mi durerà l'esame e quanti teoremi-dimostrazioni-definizioni mi verranno chiesti?

[dan952]

Beh non abbiamo la palla di vetro, comunque cercherò nel limite del possibile di aiutarti anche perché ci sono prof. e prof., il mio ad esempio prima del l'orale dava degli esercizi (in tutto 3) che dovevi svolgere in mezz'ora circa.
Apparte questo, devi sapere:
Definizioni (Spazi metrici):
- Metrica
- Spazio metrico
- Compattezza
- Successione di Cauchy
- Completezza (compattezza $\Rightarrow$ completezza, viceversa non vale vedasi $RR$)

Teoremi:
- Heine-Borel
- Compatto=Sequenzialmente compatto
- Completamento di uno spazio metrico



Sulle successioni di funzioni e serie:
- I criteri delle serie
- Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme (serve a dimostrare la maggior parte dei criteri, mi pare)
- Totalmente convergente implica assolutamente convergente e uniformemente convergente (serie di funzioni)
- Teorema di Heine-Cantor


Non mi ricordo gli altri...

[alexdr1]

Provo a mettere quelli che penso...
Per quanto riguarda continuità e derivabilità:
Esistenza degli zeri;
Weierstrass;
Dei valori intermedi;
Rolle;
Lagrange;
Fermat;
(Poi è il caso di dare una rinfrescata a quelli sulle operazioni somma,prodotto,rapporto,reciproca, inversa. De l'Hospital, quelli sul minimo, concavità e flessi? O tra questi ce ne sono alcuni da sapere imprescindibilmente???)
Per gli integrali:
(Anche qui non ancora toccati)
fondamentale sul calcolo integrale;
media;
integrazione per parti;
e sostituzione.
Per limiti di funzioni:
Confronto;
unicità;
permanenza del segno
Limitatezza locale
(Rinfrescata sul calcolo dei limiti)
Lmiti di successioni:
Confronto,unicità, permanenza;
Media aritmetica e geometria (importanti?)
Radice n-esima
(Rinfrescata calcolo dei limiti)
Per gli insiemi:
Ce ne sono altri importanti da sapere? O non mi verranno chiesti? (Esistenza estremo superiore di un insieme, unicità del massimo, proprietà caratteristica estremo sup...)

Secondo voi posso trascurare la continuità e derivabilità delle funzioni? Perché trovo complicato ricordare le ipotesi di questi due teoremi e relative dimostrazioni...

[vict85]

Per quanto riguarda le definizioni non c'è differenza tra saperle bene e saperle: o le sai oppure non le sai. E direi che devi saperle tutte.

Riguardo ai teoremi il discorso è leggermente differente, perché alcuni teoremi servono come preparazione ad altri e quindi è più difficile che ti capitino. È passato molto tempo dal mio esame di analisi 1 quindi non saprei indicarti i teoremi da guardare per bene.

[alexdr1]

Riguardo le definizioni mi verrà mai chiesto ad esempio "Dammi la definizione di punto di flesso", "definizione di funzione continua in un punto" ecc...? O non mi verranno chieste (anche se resta sotto inteso che dovrei saperle)? Più che altro in alcune definizioni ho da ricordare alcuni dettagli, nell'enunciato della definizione, del tipo che la funzione deve essere derivabile in $I-{x_0}$ ecc... tanto per fare un esempio.

[@melia]

Generalmente non chiedono le definizioni, ma alcuni docenti partono dallo scritto, quindi dipende da quali errori hai fatto. Se hai sbagliato a rappresentare il flesso in una funzione o hai aggiunto un commento confuso, potrebbe chiederti la definizione di punto di flesso.