Teoremi
ragazzi, potete dirmi enunciato e dimostrazione dei seguenti teoremi, visto che non trovo niente su internet:
- teorema sull’integrale generale di un’equazione omogenea
- teorema sull’integrale generale di un’equazione completa
- criterio di integrabilità delle forme differenziali
vanno bene anche foto di appunti e libri
- teorema sull’integrale generale di un’equazione omogenea
- teorema sull’integrale generale di un’equazione completa
- criterio di integrabilità delle forme differenziali
vanno bene anche foto di appunti e libri
Risposte
Il tuo libro di Analisi II che ne dice?
non li porta proprio
nessuno li conosce?
Per ogni EDO lineare omogenea \(L[y] = 0\) di ordine \(N\), l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione \(N\).
Pertanto, esistono esattamente \(N\) soluzioni della EDO \(L[y]=0\) che siano linearmente indipendenti e generino tutto lo spazio delle soluzioni; in altri termini, esistono \(N\) soluzioni \(y_1,\ldots, y_N\) della EDO tali che ogni altra soluzione \(y\) si scriva come combinazione lineare di \(y_1,\ldots ,y_N\).
Conseguentementa, l'integrale generale della EDO \(L[y]=0\) si scrive \(C_1y_1+\cdots +C_N y_N\), con \(C_1,\ldots ,C_N\) costanti arbitrarie.
Per ogni EDO lineare completa \(L[y]=f\), comunque si scelgano due soluzioni \(y\) ed \(\bar{y}\), la funzione \(y-\bar{y}\) è soluzione della EDO lineare omogenea associata \(L[y]=0\).
Conseguentemente, fissata una soluzione particolare \(\bar{y}\) della EDO completa \(L[y]=f\), per ogni altra soluzione \(y\) della EDO completa esiste un'unica soluzione \(y_0=C_1y_1+\cdots C_Ny_N\) dell'equazione omogenea associata tale che \(y=\bar{y} + y_0\).
Pertanto, l'integrale generale di una EDO completa \(L[y]=f\) si scrive come \(\bar{y} + C_1y_1+\cdots C_Ny_N\), in cui \(\bar{y}\) è una particolare soluzoine della EDO completa ed \(y_1,\ldots ,y_N\) sono soluzioni linearmente indipendenti della EDO omogenea associata \(L[y]=0\).
Ritengo quasi impossibile che tali teoremi non siano presenti sul tuo testo.
Pertanto, esistono esattamente \(N\) soluzioni della EDO \(L[y]=0\) che siano linearmente indipendenti e generino tutto lo spazio delle soluzioni; in altri termini, esistono \(N\) soluzioni \(y_1,\ldots, y_N\) della EDO tali che ogni altra soluzione \(y\) si scriva come combinazione lineare di \(y_1,\ldots ,y_N\).
Conseguentementa, l'integrale generale della EDO \(L[y]=0\) si scrive \(C_1y_1+\cdots +C_N y_N\), con \(C_1,\ldots ,C_N\) costanti arbitrarie.
Per ogni EDO lineare completa \(L[y]=f\), comunque si scelgano due soluzioni \(y\) ed \(\bar{y}\), la funzione \(y-\bar{y}\) è soluzione della EDO lineare omogenea associata \(L[y]=0\).
Conseguentemente, fissata una soluzione particolare \(\bar{y}\) della EDO completa \(L[y]=f\), per ogni altra soluzione \(y\) della EDO completa esiste un'unica soluzione \(y_0=C_1y_1+\cdots C_Ny_N\) dell'equazione omogenea associata tale che \(y=\bar{y} + y_0\).
Pertanto, l'integrale generale di una EDO completa \(L[y]=f\) si scrive come \(\bar{y} + C_1y_1+\cdots C_Ny_N\), in cui \(\bar{y}\) è una particolare soluzoine della EDO completa ed \(y_1,\ldots ,y_N\) sono soluzioni linearmente indipendenti della EDO omogenea associata \(L[y]=0\).
Ritengo quasi impossibile che tali teoremi non siano presenti sul tuo testo.
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