Teorema Weierstrass e continuità

[mati.brunetti37]

Come mai il teorema di Weierstrass richiede la continuità per ipotesi? Non sarebbe meno restrittiva invece l'ipotesi della funzione definita per ogni punto di quell'intervallo chiuso? D'altra parte la continuità vi è quando non ci sono punti di discontinuità che possono essere di prima, seconda e terza specie. Essenzialmente, discontinuità di prima e terza specie non minacciano la presenza di massimi e minimi della funzione, almeno secondo la mia immaginazione... Dunque la continuità è stata messa per facilitare la dimostrazione oppure sbaglio qualcosa?

[quantunquemente]

semplicemente,esiste(non solo in matematica) il concetto di condizione sufficiente ma non necessaria

[gugo82]

Basta fare un controesempio per capire che la continuità è essenziale se si vuole far funzionare il Teorema di Weierstrass...

La funzione \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} x+1 &\text{, se } -1\leq x < 0\\
0 & \text{, se } x=0\\
x-1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
il cui grafico è:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; dot([-1,0]); line([-1,0],[0,1]); dot([0,0]); line([0,-1],[1,0]); dot([1,0]);[/asvg]
ha \(\displaystyle \sup_{[-1,1]} f = 1\) ed \(\displaystyle \inf_{[-1,1]} f = -1\) e però essa non ha né minimo né massimo assoluti in \([-1,1]\).

Ovviamente, sono disponibili enunciati del Teorema un po' più deboli in cui non è richiesta la continuità, ma solo la semicontinuità inferiore/superiore nel compatto di definizione... Però le conclusioni di tali teoremi sono solamente parziali.
Ad esempio, richiedendo unicamente la semicontinuità inferiore si riesce a garantire solo l'esistenza del minimo assoluto (e con quella superiore solo l'esistenza del massimo assoluto).

Analogamente, la compattezza dell'insieme di definizione è essenziale all'esistenza degli estremi assoluti.
Un semplice controesempio è fornito, in questo caso, dalla funzione \(f:]-1,1[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := x\; ,
\]
la quale ha \(\displaystyle \sup_{[-1,1]} f = 1\) ed \(\displaystyle \inf_{[-1,1]} f = -1\) e però essa non ha né minimo né massimo assoluti in \(]-1,1[\).

Anche in questo caso, sono disponibili enunciati più deboli del Teorema in cui la compattezza non viene richiesta, ma vengono richiesti comportamenti specifici della funzione.
Ad esempio, si può provare che se \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è continua e positivamente divergente in \(\pm \infty\), allora \(f\) ha minimo assoluto.

[mati.brunetti37]

"gugo82":Basta fare un controesempio per capire che la continuità è essenziale se si vuole far funzionare il Teorema di Weierstrass...

La funzione \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} x+1 &\text{, se } -1\leq x < 0\\
0 & \text{, se } x=0\\
x-1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
il cui grafico è:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; dot([-1,0]); line([-1,0],[0,1]); dot([0,0]); line([0,-1],[1,0]); dot([1,0]);[/asvg]
ha \(\displaystyle \sup_{[-1,1]} f = 1\) ed \(\displaystyle \inf_{[-1,1]} f = -1\) e però essa non ha né minimo né massimo assoluti in \([-1,1]\).

Ovviamente, sono disponibili enunciati del Teorema un po' più deboli in cui non è richiesta la continuità, ma solo la semicontinuità inferiore/superiore nel compatto di definizione... Però le conclusioni di tali teoremi sono solamente parziali.
Ad esempio, richiedendo unicamente la semicontinuità inferiore si riesce a garantire solo l'esistenza del minimo assoluto (e con quella superiore solo l'esistenza del massimo assoluto).

Analogamente, la compattezza dell'insieme di definizione è essenziale all'esistenza degli estremi assoluti.
Un semplice controesempio è fornito, in questo caso, dalla funzione \(f:]-1,1[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := x\; ,
\]
la quale ha \(\displaystyle \sup_{[-1,1]} f = 1\) ed \(\displaystyle \inf_{[-1,1]} f = -1\) e però essa non ha né minimo né massimo assoluti in \(]-1,1[\).

Anche in questo caso, sono disponibili enunciati più deboli del Teorema in cui la compattezza non viene richiesta, ma vengono richiesti comportamenti specifici della funzione.
Ad esempio, si può provare che se \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è continua e positivamente divergente in \(\pm \infty\), allora \(f\) ha minimo assoluto.

Grazie mille. Peccato che non ci sia arrivato prima ad un caso del genere, che non era neanche difficile da pensare.

[gugo82]

Beh, consolati che sei in buona compagnia... Pure Riemann credeva che, generalmente, le funzioni limitate nei compatti avessero massimo e minimo.
La vera distinzione tra massimo ed estremo superiore e minimo ed estremo inferiore è stata capita a fondo solo dopo i lavori di Weierstrass.