Teorema valori intermedi - esercizio
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno di una mano su un esercizio
L'enunciato dice :
Un uomo percorre un tragitto di 777km in 7h , dimostrare che esiste un intervallo di un'ora dove ha percorso esattamente 111km.
Ho capito che devo applicare il TVI ma mi perdo nella dimostrazione.
La prima cosa che faccio è definire [tex]f : [0,7] \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
Questa funzione assume valori minimo in [tex]f(0)=0[/tex] e massimo in [tex]f(7)=777[/tex]
Poi definisco una funzione basata sulla precedente [tex]d : [0,6] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] che essendo composta attraverso una funzione continua sarà a sua volta continua.
dove [tex]d(t)=f(t+1)-f(t)[/tex]
[tex]f(t)[/tex] mi da la distanza percorsa al tempo t e intervallo [0,7], [tex]d(t)[/tex] mi da la distanza percorsa nell'intervallo [t,t+1]=1 ora.
a questo punto devo dimostrare che esiste un momento t compreso tra [0,6] tale che [tex]f(t+1)-f(t)=111[/tex] ossia [tex]d(t)=111[/tex]
e per fare questo il TVI dovrebbe essere la soluzione ... ma mi perdo nella dimostrazione...
Avrei bisogno di una mano su un esercizio
L'enunciato dice :
Un uomo percorre un tragitto di 777km in 7h , dimostrare che esiste un intervallo di un'ora dove ha percorso esattamente 111km.
Ho capito che devo applicare il TVI ma mi perdo nella dimostrazione.
La prima cosa che faccio è definire [tex]f : [0,7] \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
Questa funzione assume valori minimo in [tex]f(0)=0[/tex] e massimo in [tex]f(7)=777[/tex]
Poi definisco una funzione basata sulla precedente [tex]d : [0,6] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] che essendo composta attraverso una funzione continua sarà a sua volta continua.
dove [tex]d(t)=f(t+1)-f(t)[/tex]
[tex]f(t)[/tex] mi da la distanza percorsa al tempo t e intervallo [0,7], [tex]d(t)[/tex] mi da la distanza percorsa nell'intervallo [t,t+1]=1 ora.
a questo punto devo dimostrare che esiste un momento t compreso tra [0,6] tale che [tex]f(t+1)-f(t)=111[/tex] ossia [tex]d(t)=111[/tex]
e per fare questo il TVI dovrebbe essere la soluzione ... ma mi perdo nella dimostrazione...
Risposte
Non so se vuoi una dimostrazione elaborata o "da bar" (mi piace il termine 
, volevo dire "terra-terra")...
Però nel caso della dimostrazione alla quattro e quattr'otto, pensando che si muove a velocità costante , il grafico "tempo-distanza" (legge oraria, credo) è una retta, quindi hai tutte le ipotesi del mondo per il teorema dei valori intermedi.
Non vedo nulla di sbagliato nel mio ragionamento, però dato che il mio rapporto con la fisica è come quello con la ginnastica artistica, passo la palla a utenti più esperti che, magari, potrebbero anche confermare quanto ho detto.
, volevo dire "terra-terra")...Però nel caso della dimostrazione alla quattro e quattr'otto, pensando che si muove a velocità costante , il grafico "tempo-distanza" (legge oraria, credo) è una retta, quindi hai tutte le ipotesi del mondo per il teorema dei valori intermedi.
Non vedo nulla di sbagliato nel mio ragionamento, però dato che il mio rapporto con la fisica è come quello con la ginnastica artistica, passo la palla a utenti più esperti che, magari, potrebbero anche confermare quanto ho detto.
Ciao Zero87,
devo consegnare un compito di analisi matematica, in teoria non è fisica. E' un esercizio di controllo che però fa voto (non sono iscritto in una università italiana, il funzionamento dei corsi è un po' diverso che in italia).
A prescindere, grazie per l'aiuto
il punto è che proprio non mi entra in testa come terminare la dimostrazione.
devo consegnare un compito di analisi matematica, in teoria non è fisica. E' un esercizio di controllo che però fa voto (non sono iscritto in una università italiana, il funzionamento dei corsi è un po' diverso che in italia).
A prescindere, grazie per l'aiuto
il punto è che proprio non mi entra in testa come terminare la dimostrazione.
"Golgota":
Ciao Zero87,
devo consegnare un compito di analisi matematica, in teoria non è fisica. E' un esercizio di controllo che però fa voto (non sono iscritto in una università italiana, il funzionamento dei corsi è un po' diverso che in italia).
Io però dicevo di fisica perché pensavo che bisognasse inquadrare il contesto del moto, legge oraria e altre cose che sono fuori dal mio quotidiano da un pezzo...
PS. Ma stai facendo una prova scritta o roba del genere ora?
no no... non sto facendo l'esame e scrivendo sul forum
sono a casa, sono compiti da fare a casa. non siamo neanche obbligati a consegnarli (hanno un peso relativo, 20%, sul voto finale che dipende principalmente dall'esame finale).
sono a casa, sono compiti da fare a casa. non siamo neanche obbligati a consegnarli (hanno un peso relativo, 20%, sul voto finale che dipende principalmente dall'esame finale).
*** EDIT: Modificata la conclusione del ragionamento per assurdo.
Grazie Gugo... ci devo ragionare sopra alla tua spiegazione perché usi un altro teorema. Però non ho capito una cosa, alla fine della dimostrazione hai dimostrato che nell'intervallo a,b l'automobilista ha percorso per forza 111km , un valore intermedio tra 0 e 777.
Quello che mi sfugge però è che il problema chiede di dimostrare che in a,b c'è un intervallo c,d della durata di un'ora dove l'automobilista ha percorso 111km.
Mi son perso qualcosa della tua spiegazione?
Quello che mi sfugge però è che il problema chiede di dimostrare che in a,b c'è un intervallo c,d della durata di un'ora dove l'automobilista ha percorso 111km.
Mi son perso qualcosa della tua spiegazione?
"Golgota":
Quello che mi sfugge però è che il problema chiede di dimostrare che in a,b c'è un intervallo c,d della durata di un'ora dove l'automobilista ha percorso 111km.
Mi era sfuggito questo particolare, quindi la mia soluzione "terra terra" va a farsi benedire. Io pensavo dovessi dimostrare che esiste un certo tempo $t$ nel quale l'automobilista ha percorso $111$ chilometri a partire da $0$...
Sorry
Effettivamente avevo scritto male la conclusione della dimostrazione.
Rileggila ora.
Inoltre, il teorema di Lagrange, detto anche mean value theorem, è quello che ci vuole per risolvere la questione in maniera indolore; perciò l'ho usato.
Il teorema dei valori intermedi, cioè quello chiamato intermediate value theorem, è un teorema legato alla sola continuità; quindi dovresti cercare di ragionare sulla funzione \(s:[0,7]\times [0,7]\ni (x,y)\mapsto \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
s(x,y):=f(y)-f(x) = \text{spazio percorso nell'intervallo di tempo } [x,y]
\]
mostrando che il valore $111$ è un valore preso da \(s(x,y)\) sotto il vincolo \(y-x=1\) (cioè che esistono \(x_0,y_0\in [0,7]\) tali che \(y_0-x_0=1\) e \(s(x_0,y_0)=111\)).
Questo mi sembra un po' più complicato da fare... Ma può darsi che non lo sia affatto.
Prova.
Rileggila ora.
Inoltre, il teorema di Lagrange, detto anche mean value theorem, è quello che ci vuole per risolvere la questione in maniera indolore; perciò l'ho usato.
Il teorema dei valori intermedi, cioè quello chiamato intermediate value theorem, è un teorema legato alla sola continuità; quindi dovresti cercare di ragionare sulla funzione \(s:[0,7]\times [0,7]\ni (x,y)\mapsto \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
s(x,y):=f(y)-f(x) = \text{spazio percorso nell'intervallo di tempo } [x,y]
\]
mostrando che il valore $111$ è un valore preso da \(s(x,y)\) sotto il vincolo \(y-x=1\) (cioè che esistono \(x_0,y_0\in [0,7]\) tali che \(y_0-x_0=1\) e \(s(x_0,y_0)=111\)).
Questo mi sembra un po' più complicato da fare... Ma può darsi che non lo sia affatto.
Prova.
Mi sembra si possa risolvere anche usando la funzione \(d(t) := f(t+1)-f(t)\) definita da Golgota. Dobbiamo dimostrare che esiste \(t_0 \in [0,6]\) tale che \(d(t_0) = 111\).
Se \(d(0) = 111\) abbiamo già finito. Supponiamo dunque \(d(0) < 111\) (in maniera analoga si tratta il caso \(d(0) > 111\)). Se per assurdo avessimo \(d(t) < 111\) per ogni \(t\in [0,6]\), avremmo che
\[
777 > \sum_{k=0}^6 d(k) = f(7) - f(0) = 777.
\]
Di conseguenza (se proprio la vogliamo tirare per le lunghe...) esiste \(t\in [0,6]\) tale che \(d(t) \geq 111\); a questo punto basta applicare il teorema dei valori intermedi nell'intervallo \([t, t+1]\).
Se \(d(0) = 111\) abbiamo già finito. Supponiamo dunque \(d(0) < 111\) (in maniera analoga si tratta il caso \(d(0) > 111\)). Se per assurdo avessimo \(d(t) < 111\) per ogni \(t\in [0,6]\), avremmo che
\[
777 > \sum_{k=0}^6 d(k) = f(7) - f(0) = 777.
\]
Di conseguenza (se proprio la vogliamo tirare per le lunghe...) esiste \(t\in [0,6]\) tale che \(d(t) \geq 111\); a questo punto basta applicare il teorema dei valori intermedi nell'intervallo \([t, t+1]\).
Io in realtà penso che si possa anche fare in un modo diverso.
Considero i punti \(\displaystyle f\,(0), f\,(1), f\,(2), f\,(3),\dotsc, f\,(7) \). Se io ora considero la somma \(\sum_{i=1}^7 \bigr(f\,(i) - f\,(i-1)\bigr) \) questa somma è banalmente uguale a \(777 \). Ma questo significa che io ho \(7 \) addendi la cui somma è \(777 \). Cioé che o sono tutti uguali a \(111 \) oppure almeno uno è maggiore di \(111 \) e un altro minore.
Se ora uno considera la funzione \(g(x) = f(x) - f(x-1) \) nota che \(g(i) = f\,(i) - f\,(i-1) \), cioé gli addendi considerati prima. \(g(x) \) è banalmente continua per la continuità di \(f(x) \) e, per ciò che è stato detto prima, assume il valore \( 111 \) in tutti gli \(i \) interi oppure c'é almeno un intero \(i \) in cui assume valori maggiori di \(111 \) e un intero \(j\) in cui assume valori minori a \(111 \). A questo punto o la richiesta è banalmente verificata oppure si verifica tra gli interi \(i\) e \(j\) per il teorema del valore medio.
[EDIT] Ok, Rigel ha postato prima
Considero i punti \(\displaystyle f\,(0), f\,(1), f\,(2), f\,(3),\dotsc, f\,(7) \). Se io ora considero la somma \(\sum_{i=1}^7 \bigr(f\,(i) - f\,(i-1)\bigr) \) questa somma è banalmente uguale a \(777 \). Ma questo significa che io ho \(7 \) addendi la cui somma è \(777 \). Cioé che o sono tutti uguali a \(111 \) oppure almeno uno è maggiore di \(111 \) e un altro minore.
Se ora uno considera la funzione \(g(x) = f(x) - f(x-1) \) nota che \(g(i) = f\,(i) - f\,(i-1) \), cioé gli addendi considerati prima. \(g(x) \) è banalmente continua per la continuità di \(f(x) \) e, per ciò che è stato detto prima, assume il valore \( 111 \) in tutti gli \(i \) interi oppure c'é almeno un intero \(i \) in cui assume valori maggiori di \(111 \) e un intero \(j\) in cui assume valori minori a \(111 \). A questo punto o la richiesta è banalmente verificata oppure si verifica tra gli interi \(i\) e \(j\) per il teorema del valore medio.
[EDIT] Ok, Rigel ha postato prima
Provo con un'altra soluzione da bar facente uso del teorema di esistenza dei valori intermedi.
Ipotesi (ragionevoli).
- Velocità non negativa (escludo il caso in cui il conducente... torna indietro!). Però non escludo che si ferma per strada.
- $f(t)$ continua [size=80][al massimo derivabile q.o.][/size].
L'ipotesi di continuità per $f$ è ragionevole. Tanto per fare dell'ironia se esiste almeno un punto in cui $f$ non sia continua, vorrebbe dire:
- discontinuità di prima specie: l'autista si teletrasporta in quel punto(goku);
- discontinuità di seconda specie: in quel punto o l'autista non ci arriverà mai, oppure inizia a girarci attorno sempre più velocemente per assumere sempre posizioni differenti;
- discontinuità di terza specie: l'autista scompare per un attimo, ma comunque riappare subito dopo.
[size=80][La derivabilità q.o. la intendo col fatto che l'autista non cambi idea ad ogni istante come se avesse scatti di nervi durante il percorso.][/size]
Quindi, per attenersi ad una certa dose di realtà le ipotesi vanno bene.
Se $f(t)$ è continua lo è anche $d(t)$ poiché differenza tra funzioni continue e qui non ci piove.
Ora, i casi sono due.
1. Velocità costante.
In quel caso $d(t)=111$ sempre e siamo apposto.
2. Velocità non costante.
In questo caso esistono almeno 2 punti che posso chiamare $t_1$ e $t_2$ tali che
$d(t_1)< 111$ e $d(t_2)>111$. ($^1$)
Poiché $d(t)$ è continua per il teorema di esistenza dei valori intermedi...
________
($^1$) Mi piacerebbe dimostrare matematicamente questa cosa. Inizierei con cose del tipo "supponiamo che esista un punto $t_0$ in cui $d(t_0)>111$" ma poi non sapevo come andare avanti. Ho iniziato a tirare integrali di Steltjes e di Lebesgue (per questo ho scritto suppongo $f(t)$ derivabile q.o....), ma amen... Lo do per buono.
EDIT.
A parte il fatto che in 5 minuti avete risposto in 10000 , in un primo momento ho pensato che Rigel avesse risolto la mia curiosità (dimostrare che per un $d(t_1)<111$ ne esiste almeno uno tale che $d(t_2)>111$), però poi ho riflettuto, ma $t$ non è una variabile "continua"? (non discreta in pratica, mi suona strana la sommatoria...).
Ipotesi (ragionevoli).
- Velocità non negativa (escludo il caso in cui il conducente... torna indietro!). Però non escludo che si ferma per strada.
- $f(t)$ continua [size=80][al massimo derivabile q.o.][/size].
L'ipotesi di continuità per $f$ è ragionevole. Tanto per fare dell'ironia se esiste almeno un punto in cui $f$ non sia continua, vorrebbe dire:
- discontinuità di prima specie: l'autista si teletrasporta in quel punto(goku);
- discontinuità di seconda specie: in quel punto o l'autista non ci arriverà mai, oppure inizia a girarci attorno sempre più velocemente per assumere sempre posizioni differenti;
- discontinuità di terza specie: l'autista scompare per un attimo, ma comunque riappare subito dopo.
[size=80][La derivabilità q.o. la intendo col fatto che l'autista non cambi idea ad ogni istante come se avesse scatti di nervi durante il percorso.][/size]
Quindi, per attenersi ad una certa dose di realtà le ipotesi vanno bene.
Se $f(t)$ è continua lo è anche $d(t)$ poiché differenza tra funzioni continue e qui non ci piove.
Ora, i casi sono due.
1. Velocità costante.
In quel caso $d(t)=111$ sempre e siamo apposto.
2. Velocità non costante.
In questo caso esistono almeno 2 punti che posso chiamare $t_1$ e $t_2$ tali che
$d(t_1)< 111$ e $d(t_2)>111$. ($^1$)
Poiché $d(t)$ è continua per il teorema di esistenza dei valori intermedi...
________
($^1$) Mi piacerebbe dimostrare matematicamente questa cosa. Inizierei con cose del tipo "supponiamo che esista un punto $t_0$ in cui $d(t_0)>111$" ma poi non sapevo come andare avanti. Ho iniziato a tirare integrali di Steltjes e di Lebesgue (per questo ho scritto suppongo $f(t)$ derivabile q.o....), ma amen... Lo do per buono.
EDIT.
A parte il fatto che in 5 minuti avete risposto in 10000
, in un primo momento ho pensato che Rigel avesse risolto la mia curiosità (dimostrare che per un $d(t_1)<111$ ne esiste almeno uno tale che $d(t_2)>111$), però poi ho riflettuto, ma $t$ non è una variabile "continua"? (non discreta in pratica, mi suona strana la sommatoria...).
La sommatoria mia e di Rigel è solo un "trucco". Siamo partiti da \(f(7) - f(0)\), abbiamo sommato \(f(i) - f(i)\) per ogni \(i\) e infine abbiamo raggruppato per bene gli addendi. La sua esistenza e correttezza vale anche per funzioni non continue. Infatti l'unico punto in cui si usa la continuità è per il teorema del valore medio.
"vict85":
La sommatoria mia e di Rigel è solo un "trucco". Siamo partiti da \(f(7) - f(0)\), abbiamo sommato \(f(i) - f(i)\) per ogni \(i\) e infine abbiamo raggruppato per bene gli addendi. La sua esistenza e correttezza vale anche per funzioni non continue. Infatti l'unico punto in cui si usa la continuità è per il teorema del valore medio.
Capito, però come ragionamento mi ritrovo più nel tuo che mi sembra più semplice da interpretare ([size=80]adesso mi chiedo, chissà se il mio è giusto...[/size]
)
Grazie a tutti per le risposte.
Di questa soluzione che ne pensate?
definisco l'intervallo [0,7]
a=0 e b=7
t tempo espresso in ore
[tex]d(t)[/tex] distanza percorsa in km
definisco la funzione
[tex]f(t) = d(t) - 111t[/tex] tale che [tex]f(a) = f(b) = 0[/tex]
definisco la funzione
[tex]g(t) = f(t+1) - f(t)[/tex]
ipotesi è che esista un punto c nell'intervallo [0,7] tale che [tex]g(c) = 0[/tex]
sostituisco
[tex]g(c) = f(c+1)-f(c) = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - 111(c+1) - d(c) -111c = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - 111c + 111 - d(c) -111c = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - d(c) + 111 = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - d(c) = + 111[/tex]
questo mi da un intervallo [c,c+1],quindi un'ora, dove la funzione vale 111.
Di questa soluzione che ne pensate?
definisco l'intervallo [0,7]
a=0 e b=7
t tempo espresso in ore
[tex]d(t)[/tex] distanza percorsa in km
definisco la funzione
[tex]f(t) = d(t) - 111t[/tex] tale che [tex]f(a) = f(b) = 0[/tex]
definisco la funzione
[tex]g(t) = f(t+1) - f(t)[/tex]
ipotesi è che esista un punto c nell'intervallo [0,7] tale che [tex]g(c) = 0[/tex]
sostituisco
[tex]g(c) = f(c+1)-f(c) = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - 111(c+1) - d(c) -111c = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - 111c + 111 - d(c) -111c = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - d(c) + 111 = 0[/tex]
[tex]g(c) = d(c+1) - d(c) = + 111[/tex]
questo mi da un intervallo [c,c+1],quindi un'ora, dove la funzione vale 111.
Direi proprio che la tua dimostrazione è circolare. Hai ipotizzato che quel \(c\) esista e poi l'hai ‘riscoperto’. Quindi direi che è un grave errore logico. Dovresti ragionare di più ad alto livello e meno a livello di equazione. Una dimostrazione è divisa in parti e tu devi prima costruire il percorso e poi fare i calcoli. Non ci si butta mai su una dimostrazione senza una idea di come procedere. La dimostrazione che ho scritto io o equivalentemente quella di Rigel l'hai capita?
eh... è proprio lì che ho difficoltà.
Le dimostrazioni che avete scritto tu e Rigel le capisco sino alla connessione con il teorema.
Prendo dal libro Calcolo - Teoria e applicazioni di Franco conti
Sia f una funzione continua sull'intervallo [a,b]; allora essa assume tutti i valori compresi fra il suo minimo m e il suo massimo M su [a,b]. L'immagine di f è dunque l'intervallo chiuso [m,M]
Ora, devo per forza tradurre in termini matematici il problema reale.
quindi
intervallo [a,b] sarà [0,7]
m=0
M=777
quindi pongo una funzione [tex]g(t) = f(t)-f(t-1)[/tex] (con la tua forma devo porre intervallo 1,7 al posto di 0,6)
ora considero le ore 0,1,2,3,4,5,6,7 dell'intervallo, se tutti i f(t) assumono sempre 111 la sommatoria mi da 777.
se sono tutti inferiori a 111 è assurdo , se variano avrò almeno un g(t) < 111 e almeno un g(t) >111
da qui al teorema dei valori intermedi mi perdo ... nel senso, non ho capito come dimostrare che in un'ora ha percorso esattamente 111 km attraverso quel teorema.
Le dimostrazioni che avete scritto tu e Rigel le capisco sino alla connessione con il teorema.
Prendo dal libro Calcolo - Teoria e applicazioni di Franco conti
Sia f una funzione continua sull'intervallo [a,b]; allora essa assume tutti i valori compresi fra il suo minimo m e il suo massimo M su [a,b]. L'immagine di f è dunque l'intervallo chiuso [m,M]
Ora, devo per forza tradurre in termini matematici il problema reale.
quindi
intervallo [a,b] sarà [0,7]
m=0
M=777
quindi pongo una funzione [tex]g(t) = f(t)-f(t-1)[/tex] (con la tua forma devo porre intervallo 1,7 al posto di 0,6)
ora considero le ore 0,1,2,3,4,5,6,7 dell'intervallo, se tutti i f(t) assumono sempre 111 la sommatoria mi da 777.
se sono tutti inferiori a 111 è assurdo , se variano avrò almeno un g(t) < 111 e almeno un g(t) >111
da qui al teorema dei valori intermedi mi perdo ... nel senso, non ho capito come dimostrare che in un'ora ha percorso esattamente 111 km attraverso quel teorema.
@Golgota.
Se hai necessità assoluta d'usare il teorema dei valori intermedi
(o,per meglio dire,quel teorema di esistenza degli zeri che lo giustifica..),
indica per la nota convenzione con $t_0=0$ l'istante iniziale d'osservazione del moto in esame e considera,innanzitutto,
la $s(t):[0,7] to RR$ costituente la legge oraria di tal fenomeno cinematico
(ricordiamo come in tal contesto col generico numero reale $t in dom s$ s'intenda essere la misura,nel nostro caso in ore,
della quantità di tempo passata tra un prefissato istante e quello iniziale,
mentre la variabile dipendente $s(t)$ rappresenta l'intensità,al generico istante $t$,
del vettore spostamento avente per estremo la posizione del corpo in quell'istante e per origine quella occupata all'istante $t_0=0$..),
e tanto per iniziare osserva come senza far troppo rumore essa dovrà necessariamente risultare continua
(almeno di non voler accettare eventuali "smaterializzazioni" del corpo in moto che,
da quando non si trova più un episodio di Star Trek nemmeno a pagarlo oro,dobbiamo giocoforza scartare );
a questo punto nota che possono presentarsi due eventualità:
1)Il moto in esame avviene a velocità istantanea costante in tutto $[0,7]$.
In tal caso avremmo poco da verificare:
come noto dalla Cinematica,in questa eventualità sarà infatti $v(t)=v_M=111(km)/h$ $AAt in[0,7]$ e,ad esempio,$s(2)-s(1)=(2h-1h)*v_M=111km$,
e pertanto avremo facilmente trovato un intervallo temporale d'ampiezza 1h nel quale il nostro corpo avrà percorso 111km!
2)La velocità del corpo durante il moto non è costante.
In tal evenienza introduci la $h(t)=s(t+1)-s(t)-111:[0,6] to RR$ e,
notato propedeuticamente come essa sia continua
(per noti teoremi sulla continuità delle funzioni composte e della differenza tra funzioni continue..),
osserva che possono presentarsi quattro casi:
2.1)$h(t_1)=0$ per qualche $t_1 in[0,6]$ (a)
Se ciò accadesse sarebbe immediato desumere dalla (a) che $s(t_1+1)-s(t_1)=111km$,e la tesi sarebbe acquisita..
2.2)$EEt_2,t_3 in[0,6]" t.c. "h(t_2)<0,h(t_3)>0$.
In tal evenienza,detto $I$ l'intervallo aperto d'estremi(necessariamente distinti..) $t_2,t_3$,
proprio grazie al citato teorema d'esistenza degli zeri avresti che $h(t_4)=0$ per qualche $t_4 inI sube [0,6]$,
e la tesi sarebbe ancora una volta vera.
2.3)$h(t)>0$ $AAt in[0,6]$.
In quest'eventualità,che è la più interessante,
potresti allora facilmente dedurre che la velocità media del corpo in ogni intervallo temporale d'ampiezza 1h contenuto in $[0,6]$ è $>v_M$,
e dunque sarebbe immediato provare per assurdo(è quanto Vict stà implicitamente spingendoti a fare..)
che la velocità media del corpo nell'intervallo temporale $[6,7]$ è obbligatoriamente $
dovrà allora esser vero che $EEt_5 in [6,7]" t.c. "g(t_5)<0$(altrimenti rientreremmo in contrasto con la (*)).
Preso allora a piacere $overline(t) in[1,5]sub[0,6]$,notiamo che sarà $g(overline(t))=h(overline(t)-1)$;
pertanto,nel caso in esame,sarà $g(overline(t))>0$,
e siamo allora ancora una volta nelle condizioni d'usare il teorema di esistenza degli zeri come "arringa finale",
potendosi dire che grazie ad esso siam certi che $EEt_6 in [overline(t),t_5]$($sube[1,7]..$)$" t.c. "g(t_6)=0$:
da ciò sarà semplice dedurre che nell'intervallo temporale $[t_6-1,t_6]$(d'ampiezza 1h..)
il nostro corpo avrà percorso 111km,ovvero ancora una volta la veridicità della tesi!
2.4)$h(t)<0$ $AAt in[0,6]$.
In tal caso potremmo giungere alla "solita" conclusione ragionando come nel caso (2.3),
a patto di scambiare tra loro $<$ e $>$..
Saluti dal web.
P.S.Mi scuso con tutti i partecipanti al thread per eventuali equivalenze logiche della mia verifica,
ma l'avevo scritta dopo pranzo e poi ho avuto problemi per inviarla:
leggendo come s'è evoluto il post ho però pensato potesse essere utile all'OP..
Se hai necessità assoluta d'usare il teorema dei valori intermedi
(o,per meglio dire,quel teorema di esistenza degli zeri che lo giustifica..),
indica per la nota convenzione con $t_0=0$ l'istante iniziale d'osservazione del moto in esame e considera,innanzitutto,
la $s(t):[0,7] to RR$ costituente la legge oraria di tal fenomeno cinematico
(ricordiamo come in tal contesto col generico numero reale $t in dom s$ s'intenda essere la misura,nel nostro caso in ore,
della quantità di tempo passata tra un prefissato istante e quello iniziale,
mentre la variabile dipendente $s(t)$ rappresenta l'intensità,al generico istante $t$,
del vettore spostamento avente per estremo la posizione del corpo in quell'istante e per origine quella occupata all'istante $t_0=0$..),
e tanto per iniziare osserva come senza far troppo rumore essa dovrà necessariamente risultare continua
(almeno di non voler accettare eventuali "smaterializzazioni" del corpo in moto che,
da quando non si trova più un episodio di Star Trek nemmeno a pagarlo oro,dobbiamo giocoforza scartare
);a questo punto nota che possono presentarsi due eventualità:
1)Il moto in esame avviene a velocità istantanea costante in tutto $[0,7]$.
In tal caso avremmo poco da verificare:
come noto dalla Cinematica,in questa eventualità sarà infatti $v(t)=v_M=111(km)/h$ $AAt in[0,7]$ e,ad esempio,$s(2)-s(1)=(2h-1h)*v_M=111km$,
e pertanto avremo facilmente trovato un intervallo temporale d'ampiezza 1h nel quale il nostro corpo avrà percorso 111km!
2)La velocità del corpo durante il moto non è costante.
In tal evenienza introduci la $h(t)=s(t+1)-s(t)-111:[0,6] to RR$ e,
notato propedeuticamente come essa sia continua
(per noti teoremi sulla continuità delle funzioni composte e della differenza tra funzioni continue..),
osserva che possono presentarsi quattro casi:
2.1)$h(t_1)=0$ per qualche $t_1 in[0,6]$ (a)
Se ciò accadesse sarebbe immediato desumere dalla (a) che $s(t_1+1)-s(t_1)=111km$,e la tesi sarebbe acquisita..
2.2)$EEt_2,t_3 in[0,6]" t.c. "h(t_2)<0,h(t_3)>0$.
In tal evenienza,detto $I$ l'intervallo aperto d'estremi(necessariamente distinti..) $t_2,t_3$,
proprio grazie al citato teorema d'esistenza degli zeri avresti che $h(t_4)=0$ per qualche $t_4 inI sube [0,6]$,
e la tesi sarebbe ancora una volta vera.
2.3)$h(t)>0$ $AAt in[0,6]$.
In quest'eventualità,che è la più interessante,
potresti allora facilmente dedurre che la velocità media del corpo in ogni intervallo temporale d'ampiezza 1h contenuto in $[0,6]$ è $>v_M$,
e dunque sarebbe immediato provare per assurdo(è quanto Vict stà implicitamente spingendoti a fare..)
che la velocità media del corpo nell'intervallo temporale $[6,7]$ è obbligatoriamente $
dovrà allora esser vero che $EEt_5 in [6,7]" t.c. "g(t_5)<0$(altrimenti rientreremmo in contrasto con la (*)).
Preso allora a piacere $overline(t) in[1,5]sub[0,6]$,notiamo che sarà $g(overline(t))=h(overline(t)-1)$;
pertanto,nel caso in esame,sarà $g(overline(t))>0$,
e siamo allora ancora una volta nelle condizioni d'usare il teorema di esistenza degli zeri come "arringa finale",
potendosi dire che grazie ad esso siam certi che $EEt_6 in [overline(t),t_5]$($sube[1,7]..$)$" t.c. "g(t_6)=0$:
da ciò sarà semplice dedurre che nell'intervallo temporale $[t_6-1,t_6]$(d'ampiezza 1h..)
il nostro corpo avrà percorso 111km,ovvero ancora una volta la veridicità della tesi!
2.4)$h(t)<0$ $AAt in[0,6]$.
In tal caso potremmo giungere alla "solita" conclusione ragionando come nel caso (2.3),
a patto di scambiare tra loro $<$ e $>$..
Saluti dal web.
P.S.Mi scuso con tutti i partecipanti al thread per eventuali equivalenze logiche della mia verifica,
ma l'avevo scritta dopo pranzo e poi ho avuto problemi per inviarla:
leggendo come s'è evoluto il post ho però pensato potesse essere utile all'OP..
Dire che il teorema dei valori intermedi è conseguenza del teorema di esistenza degli zeri è una visione un po' analitica . Un topologo direbbe che è conseguenza del fatto che gli intervalli chiusi sono compatti.
Tieni comunque conto che se possiede tutti i valori tra il massimo e il minimo allora contiene senza dubbio tutti i valori compresi tra i due valori agli estremi degli intervalli. Io e Regel abbiamo usato questo fatto.
X Theras: scusa se non ho letto il tuo intervento, ma a occhio mi sembrava inutilmente lungo e fisico.
Per quanto riguarda la mia dimostrazione vedo di riscriverla per bene.
DIMOSTRAZIONE: Sia \( d(t) \) la distanza dal punto di partenza misurata in km e \(g(x) = d(t+1) + d(t) \) la distanza persorsa in un'ora dal tempo \(t \).
Vogliamo dimostrare che \(g(x) = 111 \) per un qualche \(t \in [0, 6] \). Siccome supponiamo che \(d \) sia continua allora lo è anche \(g \). Questo implica che in virtù del teorema dei valori intermedi ci basta trovare \(t_0, t_1 \in [0, 6] \) tali che \(g(t_0)\le 110\le g(t_1) \).
Vediamo di trovare questi valori:
\begin{align} 777 &= d(7) - d(0) \\
&= d(7) - d(0) + \sum_{i=1}^6 \bigl(d(i) - d(i)\bigr) \\
&= \sum_{i=0}^6 \bigl(d(i+1) - d(i)\bigr) \\
&= \sum_{i=0}^6 g(i)
\end{align}
A questo punto, siccome la media dei \(g(i) \) con \(i \) intero è \(111 \) allora per un elemento maggiore di \(111 \) ce ne deve essere almeno uno minore di \(111 \). Tra i \(g(i) \) possiamo quindi trovare elementi di valore \(111 \) e/o dei \(t_1 \) e \(t_2 \) opportuni.
P.S: se proprio vuoi una dimostrazione dell'ultimo fatto puoi leggere il messaggio di Regel oppure ragionare per assurdo supponendo che tutti gli elementi siano minori di 111 oppure che siano tutti maggiori.
. Un topologo direbbe che è conseguenza del fatto che gli intervalli chiusi sono compatti.Tieni comunque conto che se possiede tutti i valori tra il massimo e il minimo allora contiene senza dubbio tutti i valori compresi tra i due valori agli estremi degli intervalli. Io e Regel abbiamo usato questo fatto.
X Theras: scusa se non ho letto il tuo intervento, ma a occhio mi sembrava inutilmente lungo e fisico.
Per quanto riguarda la mia dimostrazione vedo di riscriverla per bene.
DIMOSTRAZIONE: Sia \( d(t) \) la distanza dal punto di partenza misurata in km e \(g(x) = d(t+1) + d(t) \) la distanza persorsa in un'ora dal tempo \(t \).
Vogliamo dimostrare che \(g(x) = 111 \) per un qualche \(t \in [0, 6] \). Siccome supponiamo che \(d \) sia continua allora lo è anche \(g \). Questo implica che in virtù del teorema dei valori intermedi ci basta trovare \(t_0, t_1 \in [0, 6] \) tali che \(g(t_0)\le 110\le g(t_1) \).
Vediamo di trovare questi valori:
\begin{align} 777 &= d(7) - d(0) \\
&= d(7) - d(0) + \sum_{i=1}^6 \bigl(d(i) - d(i)\bigr) \\
&= \sum_{i=0}^6 \bigl(d(i+1) - d(i)\bigr) \\
&= \sum_{i=0}^6 g(i)
\end{align}
A questo punto, siccome la media dei \(g(i) \) con \(i \) intero è \(111 \) allora per un elemento maggiore di \(111 \) ce ne deve essere almeno uno minore di \(111 \). Tra i \(g(i) \) possiamo quindi trovare elementi di valore \(111 \) e/o dei \(t_1 \) e \(t_2 \) opportuni.
P.S: se proprio vuoi una dimostrazione dell'ultimo fatto puoi leggere il messaggio di Regel oppure ragionare per assurdo supponendo che tutti gli elementi siano minori di 111 oppure che siano tutti maggiori.
2. Velocità non costante.
In questo caso esistono almeno 2 punti che posso chiamare $t_1$ e $t_2$ tali che
$d(t_1)< 111$ e $d(t_2)>111$. ($^1$)
Poiché $d(t)$ è continua per il teorema di esistenza dei valori intermedi...
________
Vorrei fare una correzione :
Il tTeorema dei valori intermedi per essere vero richiede l'ipotesi di continuità. daltra parte io potrei avere la validità del teorema dei valori intermedi senza che la f sia continua. la condizione della continuità è sufficiente ma non necessaria per la validità del teorema...
In questo caso esistono almeno 2 punti che posso chiamare $t_1$ e $t_2$ tali che
$d(t_1)< 111$ e $d(t_2)>111$. ($^1$)
Poiché $d(t)$ è continua per il teorema di esistenza dei valori intermedi...
________
Vorrei fare una correzione :
Il tTeorema dei valori intermedi per essere vero richiede l'ipotesi di continuità. daltra parte io potrei avere la validità del teorema dei valori intermedi senza che la f sia continua. la condizione della continuità è sufficiente ma non necessaria per la validità del teorema...
In questo caso è sottointeso che \(d\) sia continua, dal momento che è difficile immaginarsi uno spostamento fisico non continuo.
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