Teorema sull'equivalenza fra il limite di una funzione vettoriale e il limite di ciascuna componente

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi vi chiedo aiuto per avere questo teorema con la dimostrazione, ne su internet ne sul libro cè questo teorema ma la prof l ha messo sul programma per l orale... in poche parole mostra che che fare il limite di un vettore è uguale a fare il limite delle sue componenti a parole è semplice ma vorrei il teorema con la dimostrazione.. faccio appello a tutti i matematici grazie della risposta

[gugo82]

Beh, per dimostrare questo fatto bastano ed avanzano le maggiorazioni standard:
\[
\max \left\{ |x_1| , |x_2|,\ldots , |x_N| \right\} \leq \| \mathbf{x}\|\leq \sum_{n=1}^N |x_n|
\]
valide per ogni \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots ,x_N)\in \mathbb{R}^N\).