Teorema sulle Successioni Convergenti
Il teorema dice che "Ogni successione convergente è limitata".
La dimostrazione parte supponendo che $a_n$ converga ad $a$ e scegliendo $\epsilon = 1$. In base alla definizione di limite:
$EE\upsilon : |a_n - a|<1, AA n>\upsilon$. Quindi, utilizzando la disuguaglianza triangolare abbiamo:
$|a_n|=|(a_n-a)+a|<=|a_n-a|+|a|<1+|a|, AAn>\upsilon$
A questo punto la dimostrazione dice che si ha, $AA n in NN$:
$|a_n|<=M=max{|a_1|,|a_2|,...,|a_\upsilon|,1+|a|}$.
Quest'ultima parte non ho capito come ci si arriva. Qualcuno me lo può spiegare? Percaso mi sfugge qualcosa?
La dimostrazione parte supponendo che $a_n$ converga ad $a$ e scegliendo $\epsilon = 1$. In base alla definizione di limite:
$EE\upsilon : |a_n - a|<1, AA n>\upsilon$. Quindi, utilizzando la disuguaglianza triangolare abbiamo:
$|a_n|=|(a_n-a)+a|<=|a_n-a|+|a|<1+|a|, AAn>\upsilon$
A questo punto la dimostrazione dice che si ha, $AA n in NN$:
$|a_n|<=M=max{|a_1|,|a_2|,...,|a_\upsilon|,1+|a|}$.
Quest'ultima parte non ho capito come ci si arriva. Qualcuno me lo può spiegare? Percaso mi sfugge qualcosa?
Risposte
"La coda della successione vive in una striscia": dal posto $\nu$ in poi, tutti i termini stanno (in valore assoluto) sotto a $1+|a|$. A questo punto, prendi il massimo del valore assoluto dei primi $\nu$ termini e chiamalo $M$. Il più grande tra $M$ e $1+|a|$ ti fornisce chiaramente un bound valido per tutti i termini della successione.
Un po' più chiaro?
Un po' più chiaro?
Scusami! Ho avuto problemi di connessione!
Non ho capito l'ultima frase che hai scritto. Un buon... cosa? Forse c'è un errore di battitura. XD
Non ho capito l'ultima frase che hai scritto. Un buon... cosa? Forse c'è un errore di battitura. XD
Ha scritto proprio "BOUND" cioè limite, vincolo, legame ...
Ah, leggendo in italiano non potevo pensare che fosse in inglese. XD Grazie comunque!
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