Teorema sulle successioni

[ironm73]

Ciao a tutti ho dimostrato questo piccolo teorema ma non sono sicuro del procedimento, sapreste dirmi se sbaglio da qualche parte?

sia $ S=sum_(n = 1) ^(+oo) (a_n) $ con S appartenente ad R. Dimostrare che $ lim_(n -> +oo ) (a_n)=0 $

DIMOSTRAZIONE

$ S=sum_(n = 1) ^(+oo) (a_n) =a_1+a_2+a_3+...+a_oo $

$ S=sum_(n = 1) ^(+oo) (a_n) -a_oo=a_1+a_2+a_3+...+a_(oo-1)=a_1+a_2+a_3+...+a_oo = sum_(n = 1) ^(+oo) (a_n)$

Dato che S appartiene ad R, questo implica che:

$ S+a_oo=S $

$ a_oo=S-S $

$ a_oo=0 $

[Zero87]

"ironm73":$S=sum_(n = 1) ^(+oo) (a_n) -a_oo=a_1+a_2+a_3+...+a_(oo-1)=a_1+a_2+a_3+...+a_oo = sum_(n = 1) ^(+oo) (a_n)$

L'infinito, in sé, non è un numero.
Lasciando perdere la filosofia, un ragionamento del genere - così come è esposto - non mi sembra molto corretto.

Piuttosto proverei attaccando il problema tramite la seguente definizione (che sta in tutti i testi anche se non ricordo se sta pure nel marcellini-sbordone perché l'ho prestato).

Sia $S_n =\sum_(k=0)^n a_k$ la somma parziale n-esima, allora diremo che $\sum_(k=0)^\infty a_k$ converge se esiste finito $lim_(n->\infty) S_n$.

[ironm73]

niente, non mi viene in mente nessuna dimostrazione su questa strada :/ mi dai qualche altro indizio?

[Zero87]

"Zero87":Sia $S_n =\sum_(k=0)^n a_k$ la somma parziale n-esima, allora diremo che $\sum_(k=0)^\infty a_k$ converge se esiste finito $lim_(n->\infty) S_n$.

La definizione di successione convergente, se non erro, dice che
$a_n -> L\in \RR$ se e solo se dato $\varepsilon >0$, $\exists n_0 \in \NN$ tale che $\forall n> n_0$, si ha
$|a_n - L| <\varepsilon$.

In teoria, applicando questa definizione alla precedente ottieni $|S_n - S|<\varepsilon$, ricordando che
$|S_n - S| = |S-S_n| = |\sum_(k=n+1)^\infty a_k| < \varepsilon$,
da cui si potrebbe concludere facilmente - anche se ora non mi viene in mente come (quando la soluzione è davanti agli occhi...) - la tesi.

[Noisemaker]

"Zero87": anche se ora non mi viene in mente come (quando la soluzione è davanti agli occhi...) - la tesi.

Per il criterio di Cauchy
[size=85]

La serie
$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+a_2+a_3 +...+a_n+.... $$
è convergente se e soltanto se, fissato $\varepsilon>0,$ si possa determinare un indice $p,$ tale che, $\forall n\ge p$ e $\forall k\ge0,$ si abbia:
\begin{align}
\left|R_{n,k}\right|= | a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{n+k}| <\varepsilon\qquad\\\quad(1)
\end{align}

dimostrazione:
La dimostrazione è immediata conseguenza del criterio di Cauchy per le successioni. Infatti la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n=a_0+a_1+a_2+a_3 +...+a_n+.... $$ converge solo quando converge la successione delle somme parziali: $$ S_0, S_1, S_2,...,S_n, .... ,$$
ma tale successione, per il criterio di Cauchy, converge solo quando in corrispondenza di un arbitrario fissato\,\,$\varepsilon>0,$\,\, si possa determinare un indice $p,$ tale che, $\forall n,m\ge p$ si abbia:
$$ \left|S_m-S_n\right|<\varepsilon;$$
e questa disuguaglianza equivale alla $(1),$ perchè posto $m=n+k,$ con $k$ numero naturale arbitrario, si ha:
$$ S_m-S_n=S_{m+k}-S_n=R_{n,k} <\varepsilon$$
e questo dimostra il teorema.

[/size]

[Zero87]

"Noisemaker":[quote="Zero87"] anche se ora non mi viene in mente come (quando la soluzione è davanti agli occhi...) - la tesi.

Per il criterio di Cauchy [/quote]
Infatti, c'ero vicino, e non sapevo cosa mi mancasse. Thanks.