Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili

[JackPirri]

Ciao, sto studiando il terorema in questione e mi è sorto un piccolo dubbio.Sto studiandola dimostrazione riguardante il fatto che una funzione derivabile in un punto del suo dominio è continua in quel punto( cioè che derivabilità implica continuità).Alla fine deduce da $lim h->0 (f (x0 +h))= f(x0)$ la continuità della funzione nel punto.La paragona (il libro) definendola equivalente a $lim x->x0 f(x)=f(x0)$. È evidente che (x0+h)=x e quindi f(x0+h) è equivalente a f(x) perchè x e x0+h sono valori che provengono entrambi dall'intorno di x0 che ho assunto come dominio della funzione.Ma invece come posso equiparare h->0 e x->x0? Grazie tante.

[M.C.D.1]

Parti dalla definizione di continuità come normalmente la trovi sui libri di testo.

$ lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $

ora se chiamo $h = x - x_0$ si avrà che quando $x -> x_0 $, $h -> 0 $
inoltre $x = x_0 + h$

dunque la definizione precedente risulta equivalente a:

$ lim_(h -> 0) f(x_0 +h) = f(x_0) $

[JackPirri]

Grazie tante ora ho capito.