TEOREMA sul limite delle funzioni monotòne (chiarimento)

[smaug1]

Sia \(\displaystyle f(x) \) monotòna in \(\displaystyle [a,b] \) allora esistono \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_o^-} f(x) \) e \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_o^+} f(x)\) \(\displaystyle \forall \) \(\displaystyle x_o \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle (a,b) \).

Dimostrazione:

\(\displaystyle f(x) \) crescente in \(\displaystyle [a,b] \), quindi \(\displaystyle f(x) \) è limitata in \(\displaystyle [a,b] \)

e vale \(\displaystyle f(a) \leq f(x) \leq f(b) \) \(\displaystyle \forall \)\(\displaystyle x \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle [a,b] \).

\(\displaystyle f(a) \) minimo di \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle f(b) \) è il massimo.

Fissato \(\displaystyle x_0 \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle (a,b] \) (perchè \(\displaystyle a \) è escluso e \(\displaystyle b \) è incluso?)

si pone \(\displaystyle l= sup {{f(x): x \in [a,x_0) }} \) e l'estremo superiore è finito. (perchè ora \(\displaystyle a \) è incluso e \(\displaystyle x_0 \) invece è escluso?

Quindi \(\displaystyle \forall \epsilon > 0 \exists x_1 \in [a,x_0) : \) (perchè \(\displaystyle a \) incluso e \(\displaystyle x_0 \) no?)

\(\displaystyle l - \epsilon < f(x_1) \)

Per\(\displaystyle x > x_1 \) risulta \(\displaystyle f(x) \geq f(x_1) \)e dunque

\(\displaystyle l - \epsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq l < l + \epsilon \) (perchè?)

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_o^-} f(x) \)\(\displaystyle = l \) Grazie

[smaug1]

qualcuno mi può dare una mano?

[gugo82]

"davidedesantis":Sia \(\displaystyle f(x) \) monotòna in \(\displaystyle [a,b] \) allora esistono \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_o^-} f(x) \) e \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_o^+} f(x)\) \(\displaystyle \forall \) \(\displaystyle x_o \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle (a,b) \).

Dimostrazione:

\(\displaystyle f(x) \) crescente in \(\displaystyle [a,b] \), quindi \(\displaystyle f(x) \) è limitata in \(\displaystyle [a,b] \)

e vale \(\displaystyle f(a) \leq f(x) \leq f(b) \) \(\displaystyle \forall \)\(\displaystyle x \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle [a,b] \).

\(\displaystyle f(a) \) minimo di \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle f(b) \) è il massimo.

Fissato \(\displaystyle x_0 \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle (a,b] \) (perchè \(\displaystyle a \) è escluso e \(\displaystyle b \) è incluso?)

Suppongo che voglia dimostrare la relazione:
\[
\lim_{x\to x_0^-} f(x) =\sup_{[a,x_0[} f
\]
quindi devi poterti "muovere" a sinistra di \(x_0\).
Se scegliessi \(x_0=a\), dove troveresti lo spazio per "muoverti" a sinistra di \(a\)?

"davidedesantis":si pone \(\displaystyle l= sup {{f(x): x \in [a,x_0) }} \) e l'estremo superiore è finito. (perchè ora \(\displaystyle a \) è incluso e \(\displaystyle x_0 \) invece è escluso?

Ti sta semplicemente dicendo qual è il candidato per essere il limite, quindi può fare ciò che vuole.

Ciò non toglie che avrebbe potuto dirtelo prima... Infatti scritta in questo modo la dimostrazione risulta arzigogolata.

"davidedesantis":Quindi \(\displaystyle \forall \epsilon > 0 \exists x_1 \in [a,x_0) : \) (perchè \(\displaystyle a \) incluso e \(\displaystyle x_0 \) no?)

Vuole usare le proprietà dell'estremo superiore in \([a,x_0[\).

"davidedesantis":\(\displaystyle l - \epsilon < f(x_1) \)

Per\(\displaystyle x > x_1 \) risulta \(\displaystyle f(x) \geq f(x_1) \)e dunque

\(\displaystyle l - \epsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq l < l + \epsilon \) (perchè?)

Nlla catena, la prima disuguaglianza vale per la propietà dell'estremo superiore; la seconda per monotonia; la terza per definizione di estremo superiore; la quarta perché \(\varepsilon >0\).

"davidedesantis":\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_o^-} f(x) \)\(\displaystyle = l \) Grazie

Stante l'arbitrarietà di \(\varepsilon >0\), la precedente catena ti dice che vale questa relazione di limite con \(\delta =x_0-x_1\).

[smaug1]

grazie mille!