Teorema sul limite delle funzioni Monotone
Salve a tutti, dato il seguente teorema ho dei dubbi al riguardo:
Sia $f(x)$ monotona in $[a,b]$; allora esistono finiti i limiti $lim_{x\toa^+}f(x)$, $lim_{x\toa^-}f(x)$, e $lim_{x\tox_0^-}f(x)$, $lim_{x\tox_0^+}f(x)$, $\forall x_0 \in (a,b)$
cn l'affermazione monotona in $[a,b]$ si vuole indicare che la funzione è definita in tutto $[a,b]$, o meglio non esistono intervalli interni ad $[a,b]$ in cui la funzione non c'è? La mia domanda è se internamente ad $[a,b]$ c'è un intervallo in cui la funzione non è definita allora non è vero che $lim_{x\tox_0^-}f(x)$, $lim_{x\tox_0^+}f(x)$, $\forall x_0 \in (a,b)$ o sbaglio?
Sia $f(x)$ monotona in $[a,b]$; allora esistono finiti i limiti $lim_{x\toa^+}f(x)$, $lim_{x\toa^-}f(x)$, e $lim_{x\tox_0^-}f(x)$, $lim_{x\tox_0^+}f(x)$, $\forall x_0 \in (a,b)$
cn l'affermazione monotona in $[a,b]$ si vuole indicare che la funzione è definita in tutto $[a,b]$, o meglio non esistono intervalli interni ad $[a,b]$ in cui la funzione non c'è? La mia domanda è se internamente ad $[a,b]$ c'è un intervallo in cui la funzione non è definita allora non è vero che $lim_{x\tox_0^-}f(x)$, $lim_{x\tox_0^+}f(x)$, $\forall x_0 \in (a,b)$ o sbaglio?
Risposte
Ciao. Intanto credo che il secondo dei limiti che hai scritto nella tesi del teorema sia per $x \rightarrow b^-$ e non $a^-$.
Mi sembra in effetti che le ipotesi siano un po' troppo sintetiche e obblighino a completarle con interpretazioni personali. Dire soltanto "monotona in [a,b]" porta instintivamente a dare per assunto che sia anche definita in [a,b], cosa però secondo me non ovvia e che andrebbe precisata in modo esplicito, almeno secondo la mia personale opinione.
In effetti se si ammette la possibilità che internamente ad [a,b] sia contenuto un intervallo $I$ escluso dal $Dom(f)$ quello che scrivi è corretto: per tutte le $x_0 \in I$ almeno uno dei due limiti per $x \rightarrow x_0^\pm$ non esisterebbe. L'enunciato del teorema a questo punto porterebbe a concludere che "monotona in [a,b]" contenga come presupposto "definita in [a,b]". Francamente io preferirei vederlo specificato in modo esplicito. Ma magari mi sbaglio.
Mi sembra in effetti che le ipotesi siano un po' troppo sintetiche e obblighino a completarle con interpretazioni personali. Dire soltanto "monotona in [a,b]" porta instintivamente a dare per assunto che sia anche definita in [a,b], cosa però secondo me non ovvia e che andrebbe precisata in modo esplicito, almeno secondo la mia personale opinione.
In effetti se si ammette la possibilità che internamente ad [a,b] sia contenuto un intervallo $I$ escluso dal $Dom(f)$ quello che scrivi è corretto: per tutte le $x_0 \in I$ almeno uno dei due limiti per $x \rightarrow x_0^\pm$ non esisterebbe. L'enunciato del teorema a questo punto porterebbe a concludere che "monotona in [a,b]" contenga come presupposto "definita in [a,b]". Francamente io preferirei vederlo specificato in modo esplicito. Ma magari mi sbaglio.
@Palliit: Mi ricordi la definizione di funzione monotona, please?
già.... qualunque sia la disuguaglianza tra $f(x_1)$ ed $f(x_2)$ per ogni $x_1, x_2$ prese nell'intervallo $I$ presuppone che $f$ esista in ogni $x \in I$. Come non detto, grazie gugo82 !
quindi la stessa definizione di monotona pressuppone che $f$ esista $\forall x \in I$ quindi per questo non lo specificano..ok..cmq si era $b^-$ e non $a^-$ ho scritto male..grazie a entrambi per l'aiuto 
sono contento
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