Teorema sul limite delle funzioni monotone

[driver_458]

Perchè se una funzione è monotona in $[a,b]$ allora esistono finiti i limiti $lim f(x)_(x -> a^+)$ e $lim f(x)_(x->b^-)$?
Il libro lo dimostra solo per punti interni, ma nell'enunciato ci stanno anche gli estremi...

[Quinzio]

Boh, infatti $y = tan x$ non ha i limiti finiti per $x \to \pm (\pi)/(2)$ però è monotona.

[DajeForte]

Ma la tangente nei tuoi punti non e' finita.

Se e' monotona hai che $-infty

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[driver_458]

e quindi perchè i limiti a destra di a e sinistra di b sono finiti?

[ViciousGoblin]

I limiti agli estremi possono essere infiniti. Il teorema si può enunciare così (faccio il caso crescente):

Supponiamo $f:I\to RR$ monotona crescente dove $I$ è in intervallo di estremi $a o infiniti e possono appartenere o non appartenere a $I$. Allora:

(1) per ogni $x_0\in [a,b)$ $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ esiste e vale $"inf"{f(x):x\in I, x>x_0}$
in particolare $\lim_{x\to x_0^+}f(x)< +\infty$ dato che ${f(x):x\in I, x>x_0}$ non è vuoto.
(2) per ogni $x_0\in (a,b]$ $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ esiste e vale $"sup"{f(x):x\in I, x in particolare $\lim_{x\to x_0^-}f(x)> -\infty$ dato che ${f(x):x\in I, x
Dunque se $x_0\in (a,b)$ esistono entrambi i limiti e sono finiti dato che, da quanto sopra, si ha:
$-\infty<\lim_{x\to x_0^-}f(x)\le f(x_0)\le \lim_{x\to x_0^+}f(x)< +\infty$.
Invece in $a$ il limite sinistro può essere $-\infty$ e in $b$ il limite destro può essere $+\infty$, come è facile
vedere con semplici esempi.

[DajeForte]

Ciao ViciousGoblin,

ma se $f:[a,b] sube RR to RR$ non risultano finiti i limiti agli estremi?

Mi sono perso qualcosa?

[ViciousGoblin]

"DajeForte":Ciao ViciousGoblin,

ma se $f:[a,b] sube RR to RR$ non risultano finiti i limiti agli estremi?

Mi sono perso qualcosa?

E' vero perchè allora $"inf"{f(x): x>a}\ge f(a)$ e $"sup"{f(x): x Mi ero scordato di dirlo.

[driver_458]

il teorema che ho io porta come tesi che i limiti agli estremi sono finiti

[ViciousGoblin]

"caseyn27":il teorema che ho io porta come tesi che i limiti agli estremi sono finiti

Non avevo notato che la funzione era definita su $[a,b]$.
Allora anche i limiti agli estremi sono finiti - infatti sono compresi tra $f(a)$ ed $f(b)$.
Scusate se vi ho portato fuori strada

[DajeForte]

@caseyn27: bene hai chiara la situazione? La tua referenza ti da un teorema, ViciousGoblin te la ha estesa.

Adesso bisogna dimostrare. Sai come procedere?

[driver_458]

ok, potrebbero anche non esistere agli estremi? E quindi anche i limiti destro e sinistro ad xo sarebbero finiti dato che $f(a)<=f(xo)<=f(b)$, perchè si fa la dimostrazione?

[ViciousGoblin]

"caseyn27":ok, potrebbero anche non esistere agli estremi? E quindi anche i limiti destro e sinistro ad xo sarebbero finiti dato che $f(a)<=f(xo)<=f(b)$, perchè si fa la dimostrazione?

?????
1) chi potrebbe non esistere? Nel mio post io intendevo che non era necessaria l'esistenza di $f(a)$ o $f(b)$ -
ciò nonostante i limiti esistono (ma potrebbero essere infiniti). In questo caso rientra l'esempio $f(x)=\tan(x)$ sull'intervallo $"]"-\pi/2,\pi/2[$.
2) non capisco la sintassi del secondo periodo.

[driver_458]

nell'ipotesi non c'è scritto che la funzione sia continua... dire che l'esistenza dei limiti è data dal fatto che la funzione è compresa tra f(a) e f(b) è sufficiente?

[ViciousGoblin]

"caseyn27":nell'ipotesi non c'è scritto che la funzione sia continua... dire che l'esistenza dei limiti è data dal fatto che la funzione è compresa tra f(a) e f(b) è sufficiente?

L'ipotesi di continuità non c'è e non va messa - se $f$ fosse continua i limiti sx e dx esisterebbero automaticamente per ipotesi (e sarebbero eguali tra loro) - il teorema è interessante proprio perché DIMOSTRA L'ESISTENZA dei limiti.

Come detto nei post precedenti l'esistenza l'esistenza dei limiti vale A PRESCINDERE dal fatto che esistano $f(a)$ e/o $f(b)$
(cioè che la funzione sia definita negli estremi). Quello che si ha in più quando $f(a)$ / $f(b)$ ci sono è che i limiti
in $a$ / $b$ sono FINITI.

[ViciousGoblin]

"caseyn27":dire che l'esistenza dei limiti è data dal fatto che la funzione è compresa tra f(a) e f(b) è sufficiente?

Scusa ma non avevo letto bene la frase sopra. Quello che è scritto sopra -estrapolato dal contesto- non va bene, infatti
1) se non metto che $f$ è monotona allora non è detto che $f$ abbia limiti sx e dx nei punti di $[a,b]$ e quindi la frase è sbagliata
2) se sottintendi che $f$ sia monotona e definita su $[a,b]$ allora non c'è nessun bisogno di dire che $f$ è compresa tra $f(a)$
e $f(b)$ dato che questo è conseguenza della monotonia.

Dunque "l'esistenza dei limiti è data dal fatto che la funzione è MONOTONA"

Altra questione, come dicevo nel post precedente, è che la finitezza del limite destro in $a$ / sinistro in $b$ è conseguenza
del fatto che $f$ è definita in $a$ / è definita in $b$.

[asromavale1]

sul mio testo viene presentato il seguente teorema sul limite delle funzioni monotone :
sia $f(x)$ monotona in $[a,b]$; esistono finiti i limiti :

$ lim_(x -> a^+) f(x), lim_(x -> b-) f(x), lim_(x -> x_0^+) f(x), lim_(x -> x_0^-) f(x), AAx_0in (a,b)$

ora mi viene dimostrata l' esistenza dei limiti $lim_(x -> x_0^+) f(x), lim_(x -> x_0^-) f(x)$,

ma non quella dei limiti $ lim_(x -> a^+) f(x), lim_(x -> b-) f(x)$.
qualcuno saprebbe darmene dimostrazione?(sembra che il testo la trovi ovvia)
infine non riesco a giustificare la seguente osservazione che viene posta a fine dimostrazione :"essendo $f(x)$ crescente in $[a,b]$ allora :
$ f(a)<=lim_(x -> a^+) f(x)<=lim_(x -> x_0^-) f(x)<=lim_(x -> x_0^+) f(x)<=lim_(x -> b^-) f(x)<=f(b) , AA x_0 in (a,b) $"

grazie in anticipo

[ViciousGoblin]

La dimostrazione dei casi $x\to a^+$ e $x\to b^-$ è identica a quella fatta nei punti $x_0\in]a,b[$. L'unico motivo per trattare
a parte gli estremi è che non ci sono i limiti $x\to a^-$ e $x\to b^+$. Per convincerti di questo bisogna ricordarsi che (facciamo il caso del limite sinistro):
(*) \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\sup \{f(x):x La (*) vale quando l'insieme di cui si fa il sup non è vuoto e cioè per $x_0\in]a,b]$ (e quindi anche in $x_0=b$ e la dim. è la stessa).

Sempre da (*) segue anche che \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)\leq f(b)\), dato che, per monotonia:
\(f(x)\leq f(b)\ \forall x\in[a,b[\Rightarrow \sup \{f(x):x
(stiamo sempre supponendo $f$ non decrescente).

[asromavale1]

grazie dell'aiuto