Teorema sul Limite della Funzione Composta
Ciao a tutti,
scrivo di seguito l'enunciato del teorema del limite della funzione composta così com'è enunciato sul mio libro:
Siano:
$\{(f:XsubeRR\toRR), (g:YsubeRR\toRR), (f(X)subeY), (x_0text{ di accumulazione per } X text{ in }RR^star):}$
Enunciato:
$\{((\alpha) \lim_{x \to \x_0}f(x)=l ^^^ f(x)!=l text{ definitivamente per } x\tox_0),((\beta) \lim_{y \to \l}g(y)=k):} rArr (\gamma) \lim_{x \to \x_0}g(f(x))=k$
Ipotesi
Per la definizione di limite:
$ (\alpha) AA V(l) EE U(x_0): f(x) in V(l) \setminus {l} nn X text{ definitivamente per } x \to \x_0 $
$ (\beta) AA W(k) EE S(l): g(y) in W(k) \setminus {k} nn Y text{ definitivamente per } y \to \l $
Tesi
Si vuole dimostrare che:
$ (\gamma) AA W(k) EE U(x_0): g(f(x)) in W(k) \setminus {k} nn Y text{ definitivamente per } x \to \x_0
Partendo da questi presupposti, potreste darmi una dimostrazione completa, chiara e generale di tale teorema? (Perchè purtroppo sia il mio libro che le risorse che ho trovato su internet ne danno una dimostrazione sbrigativa e/o incompleta o, per me, poco chiara).
Inoltre potreste chiarirmi perchè, nelle condizioni di tale teorema, è particolarmente importante definire $f(x)!=l text{ definitivamente per } x\tox_0$, magari anche chiarendomi, se potete, la frase che ho trovato su un altro sito che recita proprio a questo proposito "la $(\beta)$ afferma che quando la funzione $g(y)$ opera su valori che stanno in $S(l)$, genera valori che stanno in $W(k)$ con una possibile eccezione: quando $y=l$, il valore $g(y)$ potrebbe anche:
$1)$ non esistere
oppure
$2)$ stare fuori da $W(k)$."
Quello che ancora non mi è chiaro è perchè, quando $y=l$, può accadere che si verifichino questi due casi (per meglio spiegarmi, è più un problema concettuale, "di immaginazione", che non di comprendere cosa sia effettivamente scritto lì).
Grazie e Buona Giornata
scrivo di seguito l'enunciato del teorema del limite della funzione composta così com'è enunciato sul mio libro:
Siano:
$\{(f:XsubeRR\toRR), (g:YsubeRR\toRR), (f(X)subeY), (x_0text{ di accumulazione per } X text{ in }RR^star):}$
Enunciato:
$\{((\alpha) \lim_{x \to \x_0}f(x)=l ^^^ f(x)!=l text{ definitivamente per } x\tox_0),((\beta) \lim_{y \to \l}g(y)=k):} rArr (\gamma) \lim_{x \to \x_0}g(f(x))=k$
Ipotesi
Per la definizione di limite:
$ (\alpha) AA V(l) EE U(x_0): f(x) in V(l) \setminus {l} nn X text{ definitivamente per } x \to \x_0 $
$ (\beta) AA W(k) EE S(l): g(y) in W(k) \setminus {k} nn Y text{ definitivamente per } y \to \l $
Tesi
Si vuole dimostrare che:
$ (\gamma) AA W(k) EE U(x_0): g(f(x)) in W(k) \setminus {k} nn Y text{ definitivamente per } x \to \x_0
Partendo da questi presupposti, potreste darmi una dimostrazione completa, chiara e generale di tale teorema? (Perchè purtroppo sia il mio libro che le risorse che ho trovato su internet ne danno una dimostrazione sbrigativa e/o incompleta o, per me, poco chiara).
Inoltre potreste chiarirmi perchè, nelle condizioni di tale teorema, è particolarmente importante definire $f(x)!=l text{ definitivamente per } x\tox_0$, magari anche chiarendomi, se potete, la frase che ho trovato su un altro sito che recita proprio a questo proposito "la $(\beta)$ afferma che quando la funzione $g(y)$ opera su valori che stanno in $S(l)$, genera valori che stanno in $W(k)$ con una possibile eccezione: quando $y=l$, il valore $g(y)$ potrebbe anche:
$1)$ non esistere
oppure
$2)$ stare fuori da $W(k)$."
Quello che ancora non mi è chiaro è perchè, quando $y=l$, può accadere che si verifichino questi due casi (per meglio spiegarmi, è più un problema concettuale, "di immaginazione", che non di comprendere cosa sia effettivamente scritto lì).
Grazie e Buona Giornata
Risposte
"WindCatcher":
Inoltre potreste chiarirmi perchè, nelle condizioni di tale teorema, è particolarmente importante definire $f(x)!=l text{ definitivamente per } x\tox_0$
Quello che ancora non mi è chiaro è perchè, quando $y=l$, può accadere che si verifichino questi due casi (per meglio spiegarmi, è più un problema concettuale, "di immaginazione", che non di comprendere cosa sia effettivamente scritto lì).
In effetti è un aspetto essenziale, "concettuale".
La ragione è semplice. Nella definizione di limite, il valore che la funzione assume in $x_0$ è del tutto irrilevante (non serve neanche che sia definita in $x_0$).
Ergo, se tu hai una informazione su $lim_{x \to x_0}$, ciò significa che non sai nulla di ciò che accade in $x_0$.
Semplice esempio, nel tuo caso:
$f:RR \to RR$, così definita: $f(x) = 1$ per ogni $x \in RR$
$g:RR \to RR$, così definita: $g(y) = y$ per ogni $y != 1$, $g(y) = 0$ per $y=1$
Visto che sei volenteroso, come mostra abbondantemente il tuo post, lascio a te vedere cosa succede in questo caso del limite della funzione composta, magari anche graficamente (ovviamente il caso che interessa è $lim_{y \to 1} g(y)$).
Ciao
Ciao, ti faccio un esempio concreto per chiarirti le idee!
Consideriamo ad esempio la funzione $g(x)=xsen(\pi/x)+4$
essa è tale che $lim_(x->0) g(x)=4=l$
Osserviamo che $sen(\pi/x)$ assume, in qualsiasi intorno dell'ascissa $x_0=0$, infinite volte il valore $0$ e quindi $g(x)$ assume in qualsiasi intorno dell'ascissa $x_0=0$, infinite volte il valore $4$.
Consideriamo poi la funzione
$f(z)=\{(50 con z!=4), (100 con z=4):}$
avremo
$lim_(x->4)f(z)=50=L$
ma $f(4)=100$
Se ora costruiamo la funzione composta $f(g(x))$, vediamo che essa assume, in ogni intorno di $x_0=0$, infinite volte il valore $50$ e infinite volte il valore $100$, quindi non tenderà a nessun limite se facciamo tendere $x$ a $0$.
Non si verifica quindi la tesi del teorema, ossia $lim_(x->0)f(g(x))=L$
Quindi per essere certi di ottenere la tesi occorre che:
Esista un intorno $U$ di $x_0$, per il quale ad ogni $x$ (escluso, tutt’al più, $x_0$), il valore di $g(x)$ sia sempre $!=l$ .
Consideriamo ad esempio la funzione $g(x)=xsen(\pi/x)+4$
essa è tale che $lim_(x->0) g(x)=4=l$
Osserviamo che $sen(\pi/x)$ assume, in qualsiasi intorno dell'ascissa $x_0=0$, infinite volte il valore $0$ e quindi $g(x)$ assume in qualsiasi intorno dell'ascissa $x_0=0$, infinite volte il valore $4$.
Consideriamo poi la funzione
$f(z)=\{(50 con z!=4), (100 con z=4):}$
avremo
$lim_(x->4)f(z)=50=L$
ma $f(4)=100$
Se ora costruiamo la funzione composta $f(g(x))$, vediamo che essa assume, in ogni intorno di $x_0=0$, infinite volte il valore $50$ e infinite volte il valore $100$, quindi non tenderà a nessun limite se facciamo tendere $x$ a $0$.
Non si verifica quindi la tesi del teorema, ossia $lim_(x->0)f(g(x))=L$
Quindi per essere certi di ottenere la tesi occorre che:
Esista un intorno $U$ di $x_0$, per il quale ad ogni $x$ (escluso, tutt’al più, $x_0$), il valore di $g(x)$ sia sempre $!=l$ .
Ciao Fioravante,
avevo la risposta aperta da parecchio tempo, perchè ho avuto un contrattempo, mentre stavo iniziando a rispondere......e così non mi sono accorto che avevi già risposto tu!!!!
sorry
avevo la risposta aperta da parecchio tempo, perchè ho avuto un contrattempo, mentre stavo iniziando a rispondere......e così non mi sono accorto che avevi già risposto tu!!!!
sorry
No problem, ci mancherebbe.
Per fortuna, poi, i due esempi si complementano bene
Già che ci sono, ho approfittato per mettere in evidenza nella mia risposta (strillando a più non posso) il punto cruciale della questione.
Per fortuna, poi, i due esempi si complementano bene
Già che ci sono, ho approfittato per mettere in evidenza nella mia risposta (strillando a più non posso) il punto cruciale della questione.
"Fioravante Patrone":
lascio a te vedere cosa succede in questo caso del limite della funzione composta, magari anche graficamente (ovviamente il caso che interessa è $lim_{y \to 1} g(y)$).
$lim_{y \to 1} g(y)=1$ in quanto il grafico della funzione $g(y)$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante, a meno del punto $y=1$, dove le funzione vale $0$.
Mentre $lim_{x \to x_0} g(f(x))=1$ indipendentemente dall'$x_0$ scelto (visto che non sò che limite volessi). Ma questo mi è chiaro, infatti un altro caso altrettanto evidente che presenta il mio libro è:
$f:RR \to RR, f(x) = \{(0 text{ se } x<=1), (x-1 text{ se } x>1):}$
$rArr lim_{x \to 1} f(x)=0$
$g:RR \to RR, g(x) = \{(27 text{ se } x=0), (x text{ se } x!=0):}$
$rArr lim_{y \to 0} g(y)=0$
Ma, data:
$g^^f=g(f(x)) = \{(27 text{ se } x<=1), (x text{ se } x>1):}$
allora $lim_{y \to 1} g(f(x)) text{ non esiste}$
Ho capito che, in generale $lim_{x \to x_0}f(x)$ generica, non mi da informazioni sul valore della funzione in $x_0$, ma solo informazioni sul comportamento della funzione in un determinato intorno di $x_0$, a meno del punto stesso (ed intersecato al dominio). Ma ciò che non capisco è perchè proprio se $ f(x)=l text{ definitivamente per } x\tox_0$ "il banco salta". Essendo che il limite non mi da alcuna informazione sul valore della funzione nel punto (e cioè anche su dove essa sia definita o meno) come faccio io a dire che proprio quando $ f(x)=l text{ definitivamente per } x\tox_0$, può essere che:
$a)$ $limg(f(x))$ non esiste;
$b)$ $limg(f(x))!=limg(y)$;
Scusate i vari grassetto e sottolineato ma voglio farvi capire bene fin dove arriva la mia ottusità
Riguardo alla dimostrazione, avreste qualche spunto da darmi? 
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