Teorema sugli integrali.
Buongiorno,
Teorema : Se la funzione \(\displaystyle f(x) \) è integrabile \(\displaystyle [a,b) \), allora risulterà integrabile in ogni intervallo \(\displaystyle \phi_{[\alpha,\beta)} \) di \(\displaystyle [a,b) \)
Dimostrazione :
1) Infatti se \(\displaystyle \psi , \phi \) due funzioni semplici , con \(\displaystyle \psi\le f \le \phi \) in \(\displaystyle [a,b) \) e \(\displaystyle \psi=\phi=0 \) fuori da \(\displaystyle [a,b) \), si ha anche :
\(\displaystyle\psi\phi_{[\alpha,\beta)}\le f \le \phi\phi_{[\alpha,\beta)} \) in \(\displaystyle [\alpha,\beta) \).
2) Per la definizione di funzione semplice, ricordando che \(\displaystyle \phi-\psi\ge 0 \) otteniamo
\(\displaystyle
\int_{\alpha}^{\beta} \psi\phi_{[\alpha,\beta)}-\phi\phi_{[\alpha,\beta)} dx=\int_{a}^{b} \psi\phi_{[\alpha,\beta)}-\phi\phi_{[\alpha,\beta)} dx \le \int_{a}^{b} \phi-\psi dx \).
Se ora si scelgono \(\displaystyle \psi , \phi \) in modo tale che il secondo membro sia \(\displaystyle < \epsilon \), cosa possibile perché \(\displaystyle f \) è integrabile in \(\displaystyle [a,b) \) , risulterà \(\displaystyle < \epsilon \) anche il primo membro, e quindi \(\displaystyle f \) sarà integrabile anche in \(\displaystyle [\alpha,\beta) \)
Fine.
1) La prima parte della dimostrazione, l'autore sta definendo una funzione, cioè sta costruendo una funzione per far vedere che la restrizione risulta integrabile.
2) Invece la seconda parte, applica il teorema per verificare se risulti integrabile ?
Ciao
Teorema : Se la funzione \(\displaystyle f(x) \) è integrabile \(\displaystyle [a,b) \), allora risulterà integrabile in ogni intervallo \(\displaystyle \phi_{[\alpha,\beta)} \) di \(\displaystyle [a,b) \)
Dimostrazione :
1) Infatti se \(\displaystyle \psi , \phi \) due funzioni semplici , con \(\displaystyle \psi\le f \le \phi \) in \(\displaystyle [a,b) \) e \(\displaystyle \psi=\phi=0 \) fuori da \(\displaystyle [a,b) \), si ha anche :
\(\displaystyle\psi\phi_{[\alpha,\beta)}\le f \le \phi\phi_{[\alpha,\beta)} \) in \(\displaystyle [\alpha,\beta) \).
2) Per la definizione di funzione semplice, ricordando che \(\displaystyle \phi-\psi\ge 0 \) otteniamo
\(\displaystyle
\int_{\alpha}^{\beta} \psi\phi_{[\alpha,\beta)}-\phi\phi_{[\alpha,\beta)} dx=\int_{a}^{b} \psi\phi_{[\alpha,\beta)}-\phi\phi_{[\alpha,\beta)} dx \le \int_{a}^{b} \phi-\psi dx \).
Se ora si scelgono \(\displaystyle \psi , \phi \) in modo tale che il secondo membro sia \(\displaystyle < \epsilon \), cosa possibile perché \(\displaystyle f \) è integrabile in \(\displaystyle [a,b) \) , risulterà \(\displaystyle < \epsilon \) anche il primo membro, e quindi \(\displaystyle f \) sarà integrabile anche in \(\displaystyle [\alpha,\beta) \)
Fine.
1) La prima parte della dimostrazione, l'autore sta definendo una funzione, cioè sta costruendo una funzione per far vedere che la restrizione risulta integrabile.
2) Invece la seconda parte, applica il teorema per verificare se risulti integrabile ?
Ciao
Risposte
Non capisco perché togli sempre l’estremo destro 
Cosa è $phi_([alpha,beta))$?
Cosa è $phi_([alpha,beta))$?
Hey 
cosi è riportato sul libro, lo precisa anche dicendo che è un fattore irrilevante
si possono considerare anche intervalli chiusi.
cosi è riportato sul libro, lo precisa anche dicendo che è un fattore irrilevante
si possono considerare anche intervalli chiusi.
Non capisco 
O quantomeno non capisco se sia un qualsiasi sotto intervallo di $[a,b)$ oppure uno con una proprietà ben precisa
O quantomeno non capisco se sia un qualsiasi sotto intervallo di $[a,b)$ oppure uno con una proprietà ben precisa
No no, non ci sono proprietà "strane" è un modo dell'autore per dimostrare i vare teoremi, lemma, ecc...
Ha introdotto questo metodo all'inizio del capitolo sugli integrali per introdurre la funzione semplice o costanti a tratti che altro non è una funzione a gradino, per definire l'integrale.
Ma il valore dell'integrale resta invariato.
Ha introdotto questo metodo all'inizio del capitolo sugli integrali per introdurre la funzione semplice o costanti a tratti che altro non è una funzione a gradino, per definire l'integrale.
Ma il valore dell'integrale resta invariato.
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