Teorema sugli insiemi aperti
Salve a tutti
sul testo di topologia è riportato il seguente teorema:
'L'intersezione di un qualsiasi numero finito di insiemi aperti di $R$ è un insieme aperto.'
Se considero la classe di intervalli aperti ${A_n=(-1/b,1/n): n \in N}$ cioè {(-1,1), (-1/2,1/2),...}
l'intersezione $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n={0}$
ma $0$ non è un insieme aperto. Ma il teorema afferma il contrario; dove sto sbagliando?
(Non era $4$ ma $\infty$).
Grazie e saluti
Giovanni C.
sul testo di topologia è riportato il seguente teorema:
'L'intersezione di un qualsiasi numero finito di insiemi aperti di $R$ è un insieme aperto.'
Se considero la classe di intervalli aperti ${A_n=(-1/b,1/n): n \in N}$ cioè {(-1,1), (-1/2,1/2),...}
l'intersezione $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n={0}$
ma $0$ non è un insieme aperto. Ma il teorema afferma il contrario; dove sto sbagliando?
(Non era $4$ ma $\infty$).
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
Ma quell'intersezione finita non è l'insieme $(-1/4,1/4)$?
Saluti dal web.
Saluti dal web.
Sbagli, secondo me, perchè prendi in considerazione tutto $\N$ che è risaputo essere un insieme infinito, dunque la tua intersezione è infinita.
EDIT: Non avevo visto il 4 sull'intersezione, come dice Theras, $\(-1/4 , 1/4)$ è un insieme contenente dei valori e quindi è diverso da $\{0}$.
RIEDITO: Torno al mio primo messaggio.
EDIT: Non avevo visto il 4 sull'intersezione, come dice Theras, $\(-1/4 , 1/4)$ è un insieme contenente dei valori e quindi è diverso da $\{0}$.
RIEDITO: Torno al mio primo messaggio.

Ma in $A$ ci sono tutti intervalli aperti $(-1/2,1/2)$ ecc. di conseguenza non ci sono elementi comuni e l'intersezione è vuota (definizione di intersezione fra insiemi).
Quello che non torna è l'affermazione del teorema; vorrei capire questo.
saluti
Giovanni C.
Quello che non torna è l'affermazione del teorema; vorrei capire questo.
saluti
Giovanni C.
"gcappellotto":
Salve a tutti
sul testo di topologia è riportato il seguente teorema:
'L'intersezione di un qualsiasi numero finito di insiemi aperti di $R$ è un insieme aperto.'
Se considero la classe di intervalli aperti ${A_n=(-1/n,1/n): n \in N}$ cioè {(-1,1), (-1/2,1/2),...}
l'intersezione $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n={0}$
ma $0$ non è un insieme aperto. Ma il teorema afferma il contrario; dove sto sbagliando?
Beh, la tua intersezione non è tra un numero finito di aperti... Grazie che il teorema non funziona!

Osserva intanto,ora che hai sistemato l'OP,come la tua intersezione sia numerabile,certo,ma non finita:
è questo non è ostativo con la validità del tuo teorema,
che non a caso ha tra le sue ipotesi che la famiglia d'aperti in questione sia finita..
D'altronde nota pure che $0 in (-1/n,1/n)=I_n$(posizione fatta per comodità di notazione..)$AA n in NN$,
e dunque per definizione si ha ${0} sube bigcap_(n=1)^(+oo)I_n$
(poi è vero pure l'altro verso d'inclusione,
e puoi verificarlo per assurdo grazie al teorema della permanenza del segno sulle successioni numeriche,
ma lo dico più per completezza che altro essendo utile questo fatto "solo" ad affermare che un'intersezione numerabile d'aperti può essere un chiuso..):
ma perché questo ti turba?
In fondo,se rileggi la dimostrazione di quella proposizione,da qualche parte verso la sua fine poni $r=min(r_1,..,r_n)$,
per assicurarti che,detto $a$ un elemento arbitrario di quell'intersezione finita,
se come dev'essere per def. $a in I(a,r_i) sube A_i$ $AA i in{1,..,n}$,
allora $I(a,r) sube I(a,r_i)$ $AA i in {1,..,n} rArr I(a,r) sube bigcap_(i=1)^n A_i$;
il fatto è che,se l'intersezione è numerabile,quel minimo può non esistere ma essere "solo" l'estremo inferiore nullo:
ed intorni di raggio $0$ non hanno senso..
Saluti dal web.
è questo non è ostativo con la validità del tuo teorema,
che non a caso ha tra le sue ipotesi che la famiglia d'aperti in questione sia finita..
D'altronde nota pure che $0 in (-1/n,1/n)=I_n$(posizione fatta per comodità di notazione..)$AA n in NN$,
e dunque per definizione si ha ${0} sube bigcap_(n=1)^(+oo)I_n$
(poi è vero pure l'altro verso d'inclusione,
e puoi verificarlo per assurdo grazie al teorema della permanenza del segno sulle successioni numeriche,
ma lo dico più per completezza che altro essendo utile questo fatto "solo" ad affermare che un'intersezione numerabile d'aperti può essere un chiuso..):
ma perché questo ti turba?
In fondo,se rileggi la dimostrazione di quella proposizione,da qualche parte verso la sua fine poni $r=min(r_1,..,r_n)$,
per assicurarti che,detto $a$ un elemento arbitrario di quell'intersezione finita,
se come dev'essere per def. $a in I(a,r_i) sube A_i$ $AA i in{1,..,n}$,
allora $I(a,r) sube I(a,r_i)$ $AA i in {1,..,n} rArr I(a,r) sube bigcap_(i=1)^n A_i$;
il fatto è che,se l'intersezione è numerabile,quel minimo può non esistere ma essere "solo" l'estremo inferiore nullo:
ed intorni di raggio $0$ non hanno senso..
Saluti dal web.