Teorema sufficienza per differenziabilità
Ciao a tutti, ho un problema con la condizione sufficiente per poter affermare che una funzione è differenziabile in un punto:
se una funzione in un punto $(x0,y0)$ esistono tutte le derivate parziali ed esse sono continue in un intorno del punto, allora in quel punto è differenziabile...dunque...per esempio, se abbiamo $f(x,y)=(2xy^(2))/(x^2+y^4)$ per $x,y !=0$ mentre per $x,y=0$ $f(x,y)=0$ Io parto calcolando le derivate parziali ed osservo che nell'origine queste sono continue (tendono entrambe a 0) e lo sono anche in un intorno (dal momento che quando faccio la derivata parziale sto studiando la continuità in un intorno di x0,y0)...non capisco dove sbaglio...non è questo il modo esatto per applicare il teorema di sufficienza?
e un altra cosa...se la formula del gradiente è verificata, non è detto che la funzione sia differenziabile giusto? (mentre se non è verificata NON è differenziabile in quel punto).
Grazie.
se una funzione in un punto $(x0,y0)$ esistono tutte le derivate parziali ed esse sono continue in un intorno del punto, allora in quel punto è differenziabile...dunque...per esempio, se abbiamo $f(x,y)=(2xy^(2))/(x^2+y^4)$ per $x,y !=0$ mentre per $x,y=0$ $f(x,y)=0$ Io parto calcolando le derivate parziali ed osservo che nell'origine queste sono continue (tendono entrambe a 0) e lo sono anche in un intorno (dal momento che quando faccio la derivata parziale sto studiando la continuità in un intorno di x0,y0)...non capisco dove sbaglio...non è questo il modo esatto per applicare il teorema di sufficienza?
e un altra cosa...se la formula del gradiente è verificata, non è detto che la funzione sia differenziabile giusto? (mentre se non è verificata NON è differenziabile in quel punto).
Grazie.
Risposte
Credo che tu abbia sbagliato a studiare le derivate parziali, che non risultano continue nell'origine. Per esempio, $f_x$ vale $\frac{2y^2(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}$ quando $(x,y)\ne(0,0)$ e si annulla nell'origine: siccome $f_x=2/y^2$ quando $x=0$, $y\ne0$, sicuramente $f_x(0,0)=0$ è diverso dall'eventuale limite di $f_x$ per $(x,y)\to(0,0)$ (in particolare, questo limite non esiste). Quindi le ipotesi del teorema a cui fai riferimento non sono verificate (il che, di per sé, non esclude che la funzione possa essere differenziabile nell'origine; tuttavia puoi dedurre che non è differenziabile verificando che non è nemmeno continua).
Per quanto riguarda la seconda domanda: esatto, una funzione può avere tutte le derivate direzionali $D_{\mathbf{v}}f$ definite in un punto $P$ come funzioni lineari delle componenti del versore (cioè $D_{\mathbf{v}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{v}$ per ogni versore $\mathbf{v}$) senza per questo essere differenziabile, mentre se questa linearità non è verificata allora certamente non si ha neppure differenziabilità.
Per quanto riguarda la seconda domanda: esatto, una funzione può avere tutte le derivate direzionali $D_{\mathbf{v}}f$ definite in un punto $P$ come funzioni lineari delle componenti del versore (cioè $D_{\mathbf{v}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{v}$ per ogni versore $\mathbf{v}$) senza per questo essere differenziabile, mentre se questa linearità non è verificata allora certamente non si ha neppure differenziabilità.
La funzione proposta non è continua nell'origine, perché guardando la restrizione alla curva di equazione \(x=y^2\):
\[
f(y^2,y) = \begin{cases}1 &\text{, se } y\neq 0\\
0 &\text{, se } y=0
\end{cases}
\]
si vede che tale restrizione non è continua in \(0\)... Quindi, se la \(f\) non è nemmeno continua in \((0,0)\), come può essa essere differenziabile in tale punto?
\[
f(y^2,y) = \begin{cases}1 &\text{, se } y\neq 0\\
0 &\text{, se } y=0
\end{cases}
\]
si vede che tale restrizione non è continua in \(0\)... Quindi, se la \(f\) non è nemmeno continua in \((0,0)\), come può essa essere differenziabile in tale punto?
grazie ragazzi, errore mio che non penso mai abbastanza a quello che faccio 
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