Teorema su sup e inf
Buonasera. Sto cercando su l web la dimostrazione di questo teorema: sia E un insime non vuoto di numeri reali, se esso è:
1) limitato superiormente allora ammette uno e un solo estremo superiore.
2) limitato inferiormente allora ammette uno e un solo estremo inferiore.
Potreste spiegarmi come si dimostra o darmi qualche fonte con la dimostrazione o qualche criterio con cui cercarla? Grazie in anticipo!
1) limitato superiormente allora ammette uno e un solo estremo superiore.
2) limitato inferiormente allora ammette uno e un solo estremo inferiore.
Potreste spiegarmi come si dimostra o darmi qualche fonte con la dimostrazione o qualche criterio con cui cercarla? Grazie in anticipo!
Risposte
Evidentemente se ti è stato presentato come teorema ti sarà stato dato un assioma di completezza, per esempio l'assioma di Dedekind. In tal caso la dimostrazione è facile... usa la definizione di insieme superiormente limitato e cerca di ricondurti alle condizioni di Dedekind.
Ok, grazie!
Com’è definito l’estremo superiore?
Dato un insieme $A sube R$, $L in R$, si dice estremo superiore per $A$ se $L$ è un maggiorante di $A$ e se $L$ è il più piccolo maggiorante per $A$.
E se $A$ non ha maggioranti?
Insomma, ti manca qualcosa nella definizione.
La questione è che il \(\sup A\) o è $+oo$ oppure è un minimo; e di minimo, come di mamma, ce n’è uno solo.
Insomma, ti manca qualcosa nella definizione.
La questione è che il \(\sup A\) o è $+oo$ oppure è un minimo; e di minimo, come di mamma, ce n’è uno solo.
Quindi non c'è praticamente nulla da dimostrare. é una conseguenza ovvia della definizione, giusto?
No, va dimostrato, anche se è molto semplice. Però devi scrivere con esattezza quale tipo di completezza di $\mathbb R$ stai prendendo per assiomatica.
Il mio libro non lo specifica, ma cercando sul web ne ho trovato solo uno ed è basato sulle successioni di Cauchy, ma non è il mio caso. Quindi deve essercene un altro, ma non so quale.
Per l’Assioma di Completezza, vedi qui: qualunque delle versioni possibili (tra quelle che non coinvolgono la nozione di limite) cerchi ci dovrebbe essere.
Per quanto riguarda gli estremi, invece, vedi qui.
Per quanto riguarda gli estremi, invece, vedi qui.
Grazie gugo per le risorse!
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