Teorema su spazio vettoriale topologico

[4mrkv]

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Ho dei problemi con la parte in fondo. Come faccio ad usare la proposizione per trovare \(V_{x}\)? Non capisco quali aperti devo usare e neppure come \(x\) caratterizza \(V_{x}\). Ho provato a fare delle ipotesi sulla posizione dello \(0\) rispetto agli altri insiemi ma non mi viene niente. Qualche suggerimento?

[Paolo902]

Sia $X$ un TVS e supponi di avere $X \supset K \ne \emptyset$ compatto e $C\subset X$ chiuso disgiunto da $K$. Piglia $x \in K$: allora $x$ non può stare in $C$, dunque sta nel suo complementare che è aperto. Dunque esiste un intorno $U$ di $x$ che sta ancora tutto nel complementare; poiché gli intorni di zero danno una base di intorni di tutto lo spazio (proprio perché la topologia è invariante per traslazioni), possiamo assumere che $U=x+W_x$ dove $W_x$ è un intorno di $0$. A questo punto dovrebbe essere chiaro come andare avanti: applica la proposizione a $W_x$ e il gioco è fatto.

[4mrkv]

Grazie. Avevo fatto una cosa simile in \(1.13\) ma qui non ero riuscito a mettere assieme. Posso prendere \(U\) che non interseca con \(C\) e porre \(W_{x}=-x+U\)? I punti di \(x+W_{x}\) sarebbero del tipo \(x-x+U\) e coinciderebbero con \(U\). Posso ora trovare \(V_{x}\) tale che \(4V_{x}\subset W_{x}\) quindi \(x+4V_{x}\subset x+W_{x}\) ad intersezione nulla con \(C\). Fissando \(0\) in un \(V_{x}\) dell'ultima ottengo \(x+3V_{x}\subset x+W_{x}\).

[4mrkv]

Per comprendere la dimostrazione devo ancora capire come passare da \((x+3V_{x})\cap C=\emptyset \) a \((x+2V_{x})\cap (C+V_{x})=\emptyset\) usando \(V_{x}=-V_{x}\). Qualche idea?

[4mrkv]

Credo si possa scrivere così: \(x+v_{1}+v_{2}+v_{3}\neq c\) con \(v_{i}\in V_{x}\), \(i=1,2,3\) e \(c \in C\) quindi \(x+v_{1}+v_{2}\neq c-v_{3}\) ma il segno non fa differenza a causa della simmetria di \(V_{x}\) ed ottengo \((x+2V_{x})\cap (C+V_{x})=\emptyset\). Si può usare \(\{+1,0,-1\}=V_{x}\) per un esempio intuitivo.