Teorema sconosciuto
Salve,
volevo chiedere se qualcuno conosceva il nome del seguente teorema semmai esiste (non sono riuscito a copiarlo); penso che sia una delle conseguenze del teorema di Lagrange:
Sia $f:I\to $[tex]\mathbb{R}[/tex] ivi continua e derivabile su $I-{x_0}$ con $x_0$ punto interno di $I$. Allora esiste $f'(x_0)$ ed è uguale al $\lim_{x\to x_0} f'(x_0)$
volevo chiedere se qualcuno conosceva il nome del seguente teorema semmai esiste (non sono riuscito a copiarlo); penso che sia una delle conseguenze del teorema di Lagrange:
Sia $f:I\to $[tex]\mathbb{R}[/tex] ivi continua e derivabile su $I-{x_0}$ con $x_0$ punto interno di $I$. Allora esiste $f'(x_0)$ ed è uguale al $\lim_{x\to x_0} f'(x_0)$
Risposte
Questo teorema non è tale, perché è falso. Prendi come controesempio $I=RR, x_0=0, f(x)=|x|$.
P.S.: Forse hai sbagliato a copiare dalla lavagna, e il professore stava in realtà spiegando questo teorema.
P.S.: Forse hai sbagliato a copiare dalla lavagna, e il professore stava in realtà spiegando questo teorema.
Si, penso che sia proprio questo che hai linkato
Questo teorema si può applicare anche a $f(x)=|x|$ con $x_0=0$ ?
No, Orlok. Ti sembra che la derivata di $|*|$ sia prolungabile per continuità in $0$? A me no.
Ok, infatti. Se la risposta era sì, significava non aver capito nulla 
Qualcuno ha percaso in mente qualche funzione su cui è possibile applicare il teorema del limite della derivata (ovvero questo >_> http://www.batmath.it/matematica/a_deri ... htm#limite ) ?
Forse ti piace [tex]$f(x)=x|x|$[/tex]?
Ok. Grazie. Ora provo ad applicare quel teorema
[tex]f(x) = x|x|=\begin{cases}x^2 & x\ge 0\\-x^2 & x<0 \end{cases}[/tex]
[tex]f'(x) =\begin{cases}2x & x\ge 0\\-2x^2 & x<0 \end{cases}[/tex]
$\lim_{x\to 0^+} 2x=0$
$\lim_{x\to 0^-} -2x=0$
$f'(0)=0$
giusto?
[tex]f'(x) =\begin{cases}2x & x\ge 0\\-2x^2 & x<0 \end{cases}[/tex]
$\lim_{x\to 0^+} 2x=0$
$\lim_{x\to 0^-} -2x=0$
$f'(0)=0$
giusto?
Sbagliato. Hai scritto $f'(x)={(2x, x>=0), (-2x, x<0):}$, con un $x>=0$ dove invece avresti dovuto lasciare $x>0$. Chi ti ha detto che $f$ è derivabile in $0$? Questo è proprio quello che stai cercando di dimostrare. La scrittura corretta sarebbe stata:
$f'(x)={(2x, x>0), (-2x, x<0):}$; osservando che $f$ è continua in $0$ e che $f'$ è prolungabile per continuità in $0$, concludiamo che $f$ è anche derivabile in $0$ e che $f'(0)=lim_{x\to0}f'(x)=0$.
$f'(x)={(2x, x>0), (-2x, x<0):}$; osservando che $f$ è continua in $0$ e che $f'$ è prolungabile per continuità in $0$, concludiamo che $f$ è anche derivabile in $0$ e che $f'(0)=lim_{x\to0}f'(x)=0$.
Ma siccome non solo in questo modo si prova che $\exists \lim_{x\to 0} f'(x)$ ed è finito ma che addirittura essendo $\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)$ si prova anche che la derivata è continua in $0$ , no?
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