Teorema "Un numero complesso ha n radici n-esime"

[Cattax]

Buon giorno,
sono nuovo del forum e avrei bisogno di qualche delucidazione per il teorema che vi posto sotto:



Mi chiedevo se ci fosse un motivo preciso nel prendere $h=k+mn$, ovvero perchè prende, come scritto nella dimostrazione, $m$ il quoziente e $k$ resto della divisione tra $h$ e $n$?

Vi ringrazio in anticipo per i suggerimenti,
Nicola.

[legendre]

posto dato un numero complesso $w=r(cos\varphi +isin\varphi)$ di cui voglio trovare le radici $n$-sime e $z=\rho(cos\theta+isin\theta)$ la sua rappresentazione in numero complesso deve essere $w=z^n$ per cui applicando De Moivre $r(cos\varphi +isin\varphi)=\rho^n(cos\ntheta+isinn\theta)$ che affinche' valga cio' i 2 membri devono avere stesso modulo e argomenti che differiscano di multipli di $2\pi$ da cui $r^{1/n}=\rho$ e $n\theta=\varphi+2k\pi$ per cui le radici ennesime di $w^{1/n}=z=r^{1/n}cos((\varphi+2k\pi)/n)+isin((\varphi+2k\pi)/n)$.cosi' puo pensare che ci siano infiniti valori di$z$ secondo i valori di $k$ ma in sostanza se tu hai 2 valori valori diversi di k puo' accadere di trovare per l'argomento $(\varphi+2k\pi)/n$ 2 valori diversi per un multiplo di $2\pi$ e in questo caso i 2 valori di $k$ portano ad uno stesso $z$.Se poni $\psi=\varphi/n+2h\pi/n-(\varphi/n+2h^{\prime}\pi/n)$ si ha$\psi=2\pi{h-h^{\prime}}/n$ dacui $\psi=2\pik$ avendo posto$h-h^{\prime}=kn$ che e' un multiplo di $2\pi$ per cui dalla relazione generale $\psi=\varphi/n+2h^{\prime}\pi/n$ per un valore diverso di h e' $\psi=\varphi/n+2h\pi/n-2k\pi$ avendo posto prima $h^{\prime}=h-kn$

[dissonance]

@legendre: ???
Non si capisce nulla. Hai provato a rileggere quello che hai scritto?

[gugo82]

[OT, se proprio devo essere pignolo...]

Il teorema, così come enunciato su quel testo, è falso, poiché ogni numero complesso [tex]$\neq 0$[/tex] ha un'infinità numerabile di radici [tex]$n$[/tex]-esime.

Per correggere l'enunciato bisogna aggiungere l'aggettivo distinte tra complesse e [tex]$z_0,\ldots z_{n-1}$[/tex].

[/OT]

[fireball1]

[OT]

L'hai preso dal Bramanti - Pagani - Salsa, vero? L'ho riconosciuto a prima vista...

[/OT]

[Mathcrazy]

Provo a dirlo in altri termini,approfondendo la prima parte della dimostrazione del tuo libro:

Premessa (1):
Prendiamo un numero complesso [tex]$z \in \mathbb{C}$[/tex]
Si chiama radice n-esima di [tex]$z$[/tex], ogni numero complesso [tex]$w$[/tex] tale che [tex]$w^n=z$[/tex]

Teorema:

Sia [tex]$z \in \mathbb{C}^{*} \text{ (l'asterisco sta per } z\not=0)$[/tex] dove [tex]$z= \rho(cos \theta + isen\theta)$[/tex]
allora [tex]$\forall n \in \mathbb{N}: n\ge1$[/tex] esistono [tex]$n$[/tex] radici n-esime distinte di [tex]$z$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], date dai numeri:

[tex]$w_{k}= \sqrt[n]{\rho} \left(cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i sen \frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$[/tex] con [tex]$k = 0,1,2,...., n-1$[/tex] (*)

(NB. forse non si capisce ma quel [tex]$k$[/tex] sta a mò di pedice in [tex]$w_{k}$[/tex], non vorrei pensassi, erroneamente, ad un prodotto!)

Dimostrazione:

Prima di tutto, il tuo libro, dimostra che un eventuale radice di [tex]$z$[/tex] è esprimibile nella forma (*).
Per dimostrarlo supponiamo che [tex]$w= r (cos \alpha + i sen \alpha)$[/tex] sia una radice di [tex]$z= \rho(cos \theta + isen\theta)$[/tex].

Ma per la (1), questo significa che:

[tex]$w^n = z \Leftrightarrow r^n (cos(n\alpha)+isen(n\alpha)) = \rho(cos\theta+isen\theta)$[/tex]

Questa uguaglianza è verificata se è solo se:

[tex]$r^n = \rho$[/tex] [tex]$\wedge$[/tex] [tex]$\exists k \in \mathbb{Z} \text{ tale che } (n\alpha - \theta) = 2k\pi$[/tex] [tex]$\Leftrightarrow[/tex]

[tex]$\Leftrightarrow r= \sqrt[n]{\rho}$[/tex] [tex]$\wedge$[/tex] [tex]$\exists k \in \mathbb{Z} \text{ tale che } \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$[/tex]

Avevamo detto che la radice [tex]$w= r (cos \alpha + i sen \alpha)$[/tex]

Ma quindi sostituendo i valori ottenuti:

[tex]$w_{k}= \sqrt[n]{\rho} \left(cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i sen \frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$[/tex] con [tex]$k \in \mathbb{Z}$[/tex]

Ora però tocca dimostrare che con [tex]$k = 0,1...n-1$[/tex] abbiamo tutte le radici di [tex]$z$[/tex] e distinte.

E' proprio su questo ultimo aspetto che verte la seconda parte della dimostrazione del libro.

[Cattax]

In pratica avrò un orale tra non molto, e se conoscete un modo esaustivo e migliore di quello del Pagani Salsa (@fireball bravo, riconosciuto in un lampo) benvenga.
Da quello che ho capito quello Mathcrazy non è completo, giusto?
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