Teorema ponte-generalizzazione.

[galles90]

Buongiorno,

ho la seguente generalizzazione del teorema ponte, nel caso in cui il limite di una funzione, va calcolato in un intorno $+ infty$ o $- infty$.
Vi riporto l'enunciato:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè si abbia $lim_(x to +infty) f(x)=l in mathbb{R^{\prime}}$ è che per ogni successione reale $x_n$ per la quale $x_n to + infty$ $(x_n to - infty)$, si abbia

$lim_(n to + infty) f(x_n)=l$

Suppongo che la successione sia monotona, quindi, sfrutto il teorema sulle successioni monotone, inoltre, la dimostrazione almeno la prima parte, è basata sugli intorni, cosi d'avere una dimostrazione generale della prima parte.

Sia $lim_(x to +infty) f(x)=l in mathbb{R^{\prime}$, dalla definizione di limite possiamo scrivere che :

$lim_(x to +infty) f(x)=l in mathbb{R^{\prime}} leftrightarrow forall V_l$, $exists U : forall x in U \ to \ f(x) in V$.

$U={x in mathbb{R} : x > k_1}$,
sia $x_n$ di $U$ tale che $x_n to infty$,dalla definizione di limite di successione, possiamo scrivere che:

$x_n to infty leftrightarrow k_1\ exists nu in mathbb{N} \ : \ x_n >k_1 \ forall n>nu $

In questo modo prendendo valori $n>nu$ la successione $x_n$ appartiene all'intorno $U$, per cui la successione $x_n$ "segue" i punti di $U$ per cui si $f(x_n) in V$, quindi dalla definizione di limite si ha la tesi.

Questa prima parte è corretta ?

Ciao

[otta96]

"galles90":

$x_n to infty leftrightarrow k_1\ exists nu in mathbb{N} \ : \ x_n >k_1 \ forall n>nu $

Quantifica anche $k_1$, che così è brutto. Comunque fin qui è giusta, ora viene la parte più difficile
P.S. Questa non è una generalizzazione del teorema ponte, è una versione analoga per limiti all'infinito.