Teorema Ponte e Teorema sul limite di funzione composta
Salve,
scrivo qui perchè è da qualche giorno che mi sono piantato su un problema che reputavo banale;
durante il mio ripasso di analisi I, ho riguardato il "Teorema Ponte", che "collega" la teoria sui limiti di successioni a quella dei limiti di funzioni su dominio reale;
Teorema Ponte (Salsa Bramanti pag.187):
Teorema sul limite delle funzioni Composte (Salsa Bramanti pag.172):
Il mio dubbio è il seguente:
-perchè la formulazione del T.Ponte non è vista semplicemente come un caso particolare del "Teorema sul limite delle funzioni Composte"
in particolare, nel caso in cui g(x) sia una successione a valori reali che verifica le ipotesi 2.4 ??
-se fino a questo punto non ho già sbagliato qualcosa, quindi se la domanda sovrastante è fondata, come si concilia il "per ogni successione tale che..." del T.Ponte con la semplice esistenza di una "g(x) verificante la 2.4..." del T.Funzione-Composta? non sono in conflitto ?
ringrazio chiunque mi conceda qualche minuto del suo tempo per risolvere questo mio dubbio...
grazie.
scrivo qui perchè è da qualche giorno che mi sono piantato su un problema che reputavo banale;
durante il mio ripasso di analisi I, ho riguardato il "Teorema Ponte", che "collega" la teoria sui limiti di successioni a quella dei limiti di funzioni su dominio reale;
Teorema Ponte (Salsa Bramanti pag.187):
Teorema sul limite delle funzioni Composte (Salsa Bramanti pag.172):
Il mio dubbio è il seguente:
-perchè la formulazione del T.Ponte non è vista semplicemente come un caso particolare del "Teorema sul limite delle funzioni Composte"
in particolare, nel caso in cui g(x) sia una successione a valori reali che verifica le ipotesi 2.4 ??
-se fino a questo punto non ho già sbagliato qualcosa, quindi se la domanda sovrastante è fondata, come si concilia il "per ogni successione tale che..." del T.Ponte con la semplice esistenza di una "g(x) verificante la 2.4..." del T.Funzione-Composta? non sono in conflitto ?
ringrazio chiunque mi conceda qualche minuto del suo tempo per risolvere questo mio dubbio...
grazie.
Risposte
Non sono assolutamente in conflitto, dicono anzi cose abbastanza simili.
Limite di funzione composta:
se $f$ ammette limite $k$ in $l$, allora per ogni $g$ che tende a $l$ la funzione composta avrà come limite $k$.
Teorema ponte (lato banale, con cambio di lettere):
se $f$ ammette limite $k$ in $l$, allora per ogni successione che tende a $l$ la funzione composta avrà come limite $k$.
Ma non si può dire nemmeno che il primo implichi il secondo, visto che parla di limiti per $x$ che tende a un punto di accumulazione, mentre i naturali non ne hanno e la successione ha $n$ che tende naturalmente a infinito.
Limite di funzione composta:
se $f$ ammette limite $k$ in $l$, allora per ogni $g$ che tende a $l$ la funzione composta avrà come limite $k$.
Teorema ponte (lato banale, con cambio di lettere):
se $f$ ammette limite $k$ in $l$, allora per ogni successione che tende a $l$ la funzione composta avrà come limite $k$.
Ma non si può dire nemmeno che il primo implichi il secondo, visto che parla di limiti per $x$ che tende a un punto di accumulazione, mentre i naturali non ne hanno e la successione ha $n$ che tende naturalmente a infinito.
Grazie infinite per l'attenzione, veniamo al mio dubbio:
nel caso del T.F.Composta se considero g(x) come successione a valori reali, perchè +oo non dovrebbe essere p.to di accumulazione?
Ma non si può dire nemmeno che il primo implichi il secondo, visto che parla di limiti per che tende a un punto di accumulazione, mentre i naturali non ne hanno e la successione ha che tende naturalmente a infinito
nel caso del T.F.Composta se considero g(x) come successione a valori reali, perchè +oo non dovrebbe essere p.to di accumulazione?
Che definizione hai di punto di accumulazione? Può darsi che quel libro abbia dato una spiegazione del perché anche $+oo$ fossa funzionare da punto di accumulazione, e in effetti il limite di funzione composta vale anche per gli infiniti. E leggendo meglio parla di un $RR^star$ che immagino sia proprio $RRuu{-oo,+oo}$.
Comunque il tuo dubbio se non sbaglio era che fossero in conflitto, non che ci fossero due righe di dimostrazione sovrabbondanti!
Comunque il tuo dubbio se non sbaglio era che fossero in conflitto, non che ci fossero due righe di dimostrazione sovrabbondanti!
Finalmente sto per vedere la luce...,
riformulo la mia domanda per vedere se ho capito:
E' possibile formulare il T.Ponte come caso particolare del T.F.Composta senza quindi aggiungere dimostrazioni inutili?
riformulo la mia domanda per vedere se ho capito:
E' possibile formulare il T.Ponte come caso particolare del T.F.Composta senza quindi aggiungere dimostrazioni inutili?
No 
. Il teorema ponte è un "se e solo se", c'è anche l'altra implicazione che è importantissima. Potresti saltare solo quelle prime due righe se la teoria dietro è stata impostata in un certo modo. Penso che il libro non lo abbia fatto perché nel limite di funzione composta lo aveva dimostrato esplicitamente soltanto nel caso di limiti reali, dicendo che gli altri casi sono simili.
Comunque non mi hai risposto! Non è che potresti scannerizzarmi anche la parte in cui definisce i punti di accumulazione e (quella in cui) introduce $RR^star$?
. Il teorema ponte è un "se e solo se", c'è anche l'altra implicazione che è importantissima. Potresti saltare solo quelle prime due righe se la teoria dietro è stata impostata in un certo modo. Penso che il libro non lo abbia fatto perché nel limite di funzione composta lo aveva dimostrato esplicitamente soltanto nel caso di limiti reali, dicendo che gli altri casi sono simili.Comunque non mi hai risposto! Non è che potresti scannerizzarmi anche la parte in cui definisce i punti di accumulazione e (quella in cui) introduce $RR^star$?
Ma no! Il teorema sulla funzione composta ha come ipotesi che il limite di $f$ esista e valga un tot, affermazione che per la seconda parte del teorema ponte è proprio la tesi!
Adesso mi stampo il file che mi hai dato (sennò mi viene il torcicollo
) e me lo leggo per bene, non sembra affatto male.
EDIT: ahah hai modificato, spero voglia dire che ti è più chiaro
.
Adesso mi stampo il file che mi hai dato (sennò mi viene il torcicollo
) e me lo leggo per bene, non sembra affatto male.EDIT: ahah hai modificato, spero voglia dire che ti è più chiaro
.
si, il fatto della contronominale, era una boiata, è venuta fuori inconsciamente...
purtroppo la scansione è un p sfuocata, se non si legge la rifaccio
purtroppo la scansione è un p sfuocata, se non si legge la rifaccio
Si legge bene, tranquillo. Non avevo mai visto una discussione topologica così approfondita in un testo di Analisi 1. E addirittura ritiene che lo studente abbia già visto gli spazi proiettivi! Mi piace molto un'impostazione di questo tipo, unica cosa forse per un primissimo corso è davvero un po' troppo.
Il mio testo quasi lo preferisco al mio Prof, cmq credo che non sia una situazione rara al giorno d'oggi;
l'unico problema è che gli esercizi sono tutti senza risposte, quindi certe volte perdo 2gg solo per farne 3/4;
l'unico problema è che gli esercizi sono tutti senza risposte, quindi certe volte perdo 2gg solo per farne 3/4;
Ma è il Bramanti-Pagani-Salsa? Con una ricerca veloce su internet ho trovato traccia solo di questo. "Pagani-Salsa" l'ho letto più di una volta qui sul forum, sembra che ognuno elimini un autore a caso .
In ogni caso penso che prima o poi me lo procurerò, un libro fatto davvero bene di analisi è una cosa che mi manca.
.In ogni caso penso che prima o poi me lo procurerò, un libro fatto davvero bene di analisi è una cosa che mi manca.
EDIT:
il mio è il Salsa, Pagani, copertina blu, carta giallognola;
cosa inspiegabile è che il Bramanti, Pagani, Salsa sembra scritto solo dal primo: Bramanti, infatti è completamente diverso;
forse dovrei farti anche una scansione su come sono introdotti i numeri reali, (allineamenti decimali), non so se potrebbe interessarti;
saluti
il mio è il Salsa, Pagani, copertina blu, carta giallognola;
cosa inspiegabile è che il Bramanti, Pagani, Salsa sembra scritto solo dal primo: Bramanti, infatti è completamente diverso;
forse dovrei farti anche una scansione su come sono introdotti i numeri reali, (allineamenti decimali), non so se potrebbe interessarti;
saluti
Tra l'altro ho visto che esiste davvero anche il Pagani-Salsa senza Bramanti. Che casino le pubblicazioni 
.
Mi interesserebbe per curiosità più che altro l'introduzione topologica che citano nell'ultima pagina scannerizzata (definizione di spazio topologico ecc.), ma è davvero solo una curiosità legata al fatto che sia un libro di Analisi 1 quindi non ti affaticare, fallo solo se e quando non hai proprio nient'altro di meglio da fare.
.Mi interesserebbe per curiosità più che altro l'introduzione topologica che citano nell'ultima pagina scannerizzata (definizione di spazio topologico ecc.), ma è davvero solo una curiosità legata al fatto che sia un libro di Analisi 1 quindi non ti affaticare, fallo solo se e quando non hai proprio nient'altro di meglio da fare
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Il Pagani-Salsa "Analisi Matematica" Vol. 1 e 2 lo trovi tranquillamente sul sito della Zanichelli dove puoi anche ordinarlo se ti interessa. Io ho fatto così.
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