Teorema ponte

[asromavale1]

so per ipotesi che $ AA x_nrarr x_0, x_nin A-[x_0]AA nin NrArr f(x_n)rarr l $ e voglio dimostrare che $ AA epsilon>0,EE delta >0: x inA,0!= | x-x_0| dimostrazione:faccio vedere che se l'ipotesi implica la negazione della tesi si giunge ad un assurdo.negare la tesi significa affermare che 1) $ EE epsilon_0>0:AA delta >0,EE x in A:0!= | x-x_0| =epsilon_0 $ poniamo $ delta =1/n $ con $ nin N $ e indichiamo $ x=x_n $ il valore di $ x $ che compare in 1) in dipendenza da $ delta =1/n $ : $ EE epsilon_0>0:AA nin N,EE x_n in A:0!= | x-x_0| <1/n ,| f(x)-l| >=epsilon_0 $
risulta in particolare: $ x_n!= x_0,x_0-1/n perciò $ x_nin A-[x_0]AA nin N $ e $ x_n rarr x_0 $ (per il teorema dei carabinieri)però $ f(x_n) $ non converge ad $ l $ perchè la disuguaglianza $ | f(x_n)-l| >=epsilon_0,AA nin N $ contrasta con la definizione di limite di successione.
quello che non mi è chiaro è perchè posso permettermi di sostituire $ x $ con $ x_n $ nella 1)

[ostrogoto1]

indichiamo x=xn il valore di x che compare in 1)

detto in altra maniera: costruisco una successione $ {x_n} $ definendo $ x_n=x $ ossia prendendo $ AA ninmathbb(N) $ proprio quell'x che compare nella (1).