Teorema permanenza del segno(successioni):
Il teorema afferma che se $\lim_{n \to \infty}a_n=a>0 $,esiste un numero v tale che $a_n>0 $ per ogni $n>v $ . 1 domanda)perchè tale enunciato vale solo per il segno stretto? cioè solo per strettamente maggiore o minore? . La dimostrazione tiene conto della definizione di limite e della proprietà del valore assoluto e della arbitraria scelta di epsilon. Alla fine avremo: $a_n>(a/2)>0 $ per ogni $n>v $.Poi un altro dubbio sorge nel corollario che segue:
Se $\lim_{n \to \infty}a_n=a$ e $ a_n>=0 $ per ogni n, allora anche $ a>=0$ perchè qui vale il segno $ >=$ ?Nella dimostrazione dice: se per assurdo fosse a<0, il teorema della permanenza del segno applicato alla successione $ -a_n$(perchè $ -an_$ ?) comporterebbe che $ a_n<0$ per n grande. E l'ultimo dubbio nasce dall'altro corollario, cioè che se $\lim_{n \to \infty}a_n=a $ , $\lim_{n \to \infty}b_n=b $ e se $a_n>=b_n$ per ogni n allora si ha $a>=b$, non so dimostrare quest'ultimo corollario! Scusate se ho scritto male, e la mia ignoranza, ma a breve ho degli esami e vorrei capire tutto fino in fondo.
Se $\lim_{n \to \infty}a_n=a$ e $ a_n>=0 $ per ogni n, allora anche $ a>=0$ perchè qui vale il segno $ >=$ ?Nella dimostrazione dice: se per assurdo fosse a<0, il teorema della permanenza del segno applicato alla successione $ -a_n$(perchè $ -an_$ ?) comporterebbe che $ a_n<0$ per n grande. E l'ultimo dubbio nasce dall'altro corollario, cioè che se $\lim_{n \to \infty}a_n=a $ , $\lim_{n \to \infty}b_n=b $ e se $a_n>=b_n$ per ogni n allora si ha $a>=b$, non so dimostrare quest'ultimo corollario! Scusate se ho scritto male, e la mia ignoranza, ma a breve ho degli esami e vorrei capire tutto fino in fondo.
Risposte
"Roslyn":
Il teorema afferma che se $\lim_{n \to \infty}a_n=a>0 $,esiste un numero v tale che $a_n>0 $ per ogni $n>v $ . 1 domanda)perchè tale enunciato vale solo per il segno stretto? cioè solo per strettamente maggiore o minore? .
Perché se \(a=0\) può succedere di tutto.
Ad esempio, guarda cosa accade alle successioni di termini generali \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\), \(b_n=\frac{1}{n}\), \(c_n=-\frac{1}{n}\) e \(d_n=\sin (n\pi)\).
"Roslyn":
Poi un altro dubbio sorge nel corollario che segue:
Se $\lim_{n \to \infty}a_n=a$ e $ a_n>=0 $ per ogni n, allora anche $ a>=0$ perchè qui vale il segno $ >=$ ?
Perché così vanno le cose.
Insomma, se hai delle informazioni, anche deboli, sul segno della successione, allora esse "passano al limite" (nel senso che il limite di tale successione, se esiste, conserva le proprietà di segno).
Il viceversa, però, non vale: infatti come visto sopra, servono informazioni forti sul segno del limite per concludere qualcosa sul segno dei termini della successione corrispondente.
"Roslyn":
E l'ultimo dubbio nasce dall'altro corollario, cioè che se $\lim_{n \to \infty}a_n=a $ , $\lim_{n \to \infty}b_n=b $ e se $a_n>=b_n$ per ogni n allora si ha $a>=b$, non so dimostrare quest'ultimo corollario!
Considera la successione di termine generale \(c_n:=a_n-b_n\)... Quale risultato precedente puoi applicare alla \(c_n\)?
Sicuramente il secondo, sapendo che la prima successione a_n>=b_n so per certo che anche i valori limite si comporteranno allo stesso modo, ma non lo so enunciare in simboli! :S
Forse ho capito. Praticamente avendo $\lim_{n \to \infty}a_n=a$ e $\lim_{n \to \infty}b_n=b$ con $a_n>=b_n$ mi aspetto che anche $a>=b$. Per ottenere ciò mi basta dimostrarlo per $a_n-b_n$(posso dimostrarlo anche per la somma,prodotto ecc?). Ora se per assurdo fosse che $a<=b$ per il teorema della permanenza del segno avremo che $a_n<=b_n$ e ciò è un assurdo perchè abbiamo supposto $a_n>=b_n$ da un certo indice in poi... è giusta la dimostrazione?
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