Teorema per funzioni U.C.
Salve a tutti. Ho trovato un teorema riguardo l'uniforme continuità di una funzione, solo che ho qualche dubbio sull'enunciato. Si afferma che data una funzione continua con la sua derivata prima nell'intervallo $[a;+oo[$, se esiste finito il limite per $x->+oo$ di $f'(x)$ allora la funzione è uniformemente continua.
I miei dubbi sono:
1) si intende che la funzione sarà eventualmente u.c. in $[a;+oo[$ ?
2) si può considerare il teorema valido per l'intervallo $(a;+oo[$, cioè $a$ escluso oppure incluso ?
3) esiste la variante in \(]-infty ;a]\), in cui bisogna considerare il limite di $f'(x)$ per $x->-oo$ (eventualmente nel caso 2)) ?
Grazie anticipatamente
I miei dubbi sono:
1) si intende che la funzione sarà eventualmente u.c. in $[a;+oo[$ ?
2) si può considerare il teorema valido per l'intervallo $(a;+oo[$, cioè $a$ escluso oppure incluso ?
3) esiste la variante in \(]-infty ;a]\), in cui bisogna considerare il limite di $f'(x)$ per $x->-oo$ (eventualmente nel caso 2)) ?
Grazie anticipatamente
Risposte
"brownbetty":
Salve a tutti. Ho trovato un teorema riguardo l'uniforme continuità di una funzione, solo che ho qualche dubbio sull'enunciato. Si afferma che data una funzione continua con la sua derivata prima nell'intervallo $[a;+oo[$, se esiste finito il limite per $x->+oo$ di $f'(x)$ allora la funzione è uniformemente continua.
I miei dubbi sono:
1) si intende che la funzione sarà eventualmente u.c. in $[a;+oo[$ ?
Sì.
"brownbetty":
2) si può considerare il teorema valido per l'intervallo $(a;+oo[$, cioè $a$ escluso oppure incluso?
Incluso.
Controesempio: \(1/x\) non è uniformemente continua in \(]0,\infty[\).
"brownbetty":
3) esiste la variante in \(]-oo;a]\), in cui bisogna considerare il limite di $f'(x)$ per $x->-oo$ (eventualmente nel caso 2)) ?
Ovviamente sì.
E l'estremo \(a\) deve essere incluso nell'intervallo.
Grazie per la risposta fulminea !
Bene per la 1) e la 3). Male per la 2) ... se volessi mostrare che una funzione come $f(x) = sqrt(x^2 +4) - sqrt(x^2 + 1)$ è u.c. nel suo campo di esistenza, non potrei più dire che è u.c. in un intervallo $[a;b]$ per Cantor, e poi per il teorema postato che è u.c. in \(]-\infty ;a]\) e $[b;+oo[$, e concludere che $f(x)$ è u.c. in tutto il suo campo di esistenza ?
Cioè chiedo, ci sarebbero altri metodi per verificare questo fatto ? Purtroppo conosco solo questi due teoremi (che tra l'altro non sono di caratterizzazione, quindi se "falliscono" rimango disarmato)
Bene per la 1) e la 3). Male per la 2) ... se volessi mostrare che una funzione come $f(x) = sqrt(x^2 +4) - sqrt(x^2 + 1)$ è u.c. nel suo campo di esistenza, non potrei più dire che è u.c. in un intervallo $[a;b]$ per Cantor, e poi per il teorema postato che è u.c. in \(]-\infty ;a]\) e $[b;+oo[$, e concludere che $f(x)$ è u.c. in tutto il suo campo di esistenza ?
Cioè chiedo, ci sarebbero altri metodi per verificare questo fatto ? Purtroppo conosco solo questi due teoremi (che tra l'altro non sono di caratterizzazione, quindi se "falliscono" rimango disarmato)
Beh, puoi ragionare come hai fatto e va benissimo.
Altrimenti puoi vederla così.
Hai \(f(x)=g(x)-h(x)\), sicché \(|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|+|h(x)-h(y)|\); ma usando Lagrange trovi:
\[
|g(x)-g(y)| = |g^\prime (\xi)|\ |x-y| \qquad \text{ed} \qquad |h(x)-h(y)| = |h^\prime (\eta)|\ |x-y|
\]
e dato che:
\[
\begin{split}
g^\prime (x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \quad &\Rightarrow \quad |g^\prime (x)|\leq 1\\
h^\prime (x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \quad &\Rightarrow \quad |h^\prime (x)|\leq 1
\end{split}
\]
dalle precedenti si ottiene:
\[
|g(x)-g(y)| \leq |x-y| \qquad \text{ed} \qquad |h(x)-h(y)| \leq |x-y|\; ,
\]
perciò:
\[
|f(x)-f(y)|\leq 2|x-y|\; .
\]
Da ciò segue che la tua \(f\) è lipschitziana in \(\mathbb{R}\) e dunque, a fortiori, uniformemente continua.
[size=85]11K post.
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Altrimenti puoi vederla così.
Hai \(f(x)=g(x)-h(x)\), sicché \(|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|+|h(x)-h(y)|\); ma usando Lagrange trovi:
\[
|g(x)-g(y)| = |g^\prime (\xi)|\ |x-y| \qquad \text{ed} \qquad |h(x)-h(y)| = |h^\prime (\eta)|\ |x-y|
\]
e dato che:
\[
\begin{split}
g^\prime (x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \quad &\Rightarrow \quad |g^\prime (x)|\leq 1\\
h^\prime (x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \quad &\Rightarrow \quad |h^\prime (x)|\leq 1
\end{split}
\]
dalle precedenti si ottiene:
\[
|g(x)-g(y)| \leq |x-y| \qquad \text{ed} \qquad |h(x)-h(y)| \leq |x-y|\; ,
\]
perciò:
\[
|f(x)-f(y)|\leq 2|x-y|\; .
\]
Da ciò segue che la tua \(f\) è lipschitziana in \(\mathbb{R}\) e dunque, a fortiori, uniformemente continua.
[size=85]11K post.
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Ciao. Grazie per aver risposto.
Riguardo all'esercizio, ho esitato a dire che la funzione è u.c. nel dominio per via del fatto che gli estremi $a$ e $b$ si sovrappongono, ma alla fine riflettendoci (senza diciamo "dimostrare" nulla), è un non-problema che mi sono fatto inutilmente
Un ultima cosa riguardo il punto 2) all'inizio. Guardando la dimostrazione del teorema postato (in cui si usa il fatto che $|f'|<=k$ con $k>0$ permette di dire che $f$ è Lipschitziana e quindi u.c.), non capisco la necessità di includere $a$. Cioè non capisco perché togliendolo "a me" pare che nella dimostrazione non cambi nulla, mentre nella pratica c'è il tuo controesempio, che invece è chiarissimo ... c'è qualcosa che mi sfugge ma non riesco a capire cosa è ...
Riguardo all'esercizio, ho esitato a dire che la funzione è u.c. nel dominio per via del fatto che gli estremi $a$ e $b$ si sovrappongono, ma alla fine riflettendoci (senza diciamo "dimostrare" nulla), è un non-problema che mi sono fatto inutilmente
Un ultima cosa riguardo il punto 2) all'inizio. Guardando la dimostrazione del teorema postato (in cui si usa il fatto che $|f'|<=k$ con $k>0$ permette di dire che $f$ è Lipschitziana e quindi u.c.), non capisco la necessità di includere $a$. Cioè non capisco perché togliendolo "a me" pare che nella dimostrazione non cambi nulla, mentre nella pratica c'è il tuo controesempio, che invece è chiarissimo ... c'è qualcosa che mi sfugge ma non riesco a capire cosa è ...
Se non vedo male, la dimostrazione funziona così: ho per ipotesi \(f^\prime \to l\) per \(x\to \infty\), ergo \(f^\prime\) è limitata in un intorno \([b,\infty[\) di \(\infty\) (con \(b\geq a\)) e perciò \(f\) è lipschitziana in \([b,\infty\); ora, se \(b=a\) sono a posto; altrimenti per il teorema di Cantor la \(f\) è uniformemente continua in \([a,b]\) e dunque essa è uniformemente continua in \([a,b]\cup [b,\infty[ =[a,\infty[\).
Quindi il fatto che \(a\) vada incluso nell'intervallo è "naturale", perché viene dall'applicazione del teorema di Cantor all'intervallo chiuso \([a,b]\).
P.S.: Ho eliminato i doppi post. Per il futuro, ricorda che esiste il taso Modifica.
Quindi il fatto che \(a\) vada incluso nell'intervallo è "naturale", perché viene dall'applicazione del teorema di Cantor all'intervallo chiuso \([a,b]\).
P.S.: Ho eliminato i doppi post. Per il futuro, ricorda che esiste il taso Modifica.
mmm ... la mia è: sia $d > a$ tale che $|f'(x) - l < 1$ per $x>d$ Allora è $|f'(x)| < 1 +|l|$ per $x>d$. Posto $k = max{1+|l|, SUP{|f'(x)|:x in [a;d]}}$, risulta $|f'(x)|<=k$ per ogni $x in [a;d]$. Perciò c'è lipschitzianità di $f$ nell'intervallo $[a;+oo[$, ossia u.c. in tale intervallo.
P.S: mi scuso per i doppi posts.
P.S: mi scuso per i doppi posts.
Probabilmente non hai fatto il teorema di Heine-Cantor di cui parlava Gugo. Se non mi sbaglio la dimostrazione che proponi necessita dell'ipotesi aggiuntiva, rispetto a quella proposta da lui, della continuità di $f'$, per poterla maggiorare sul compatto $[a,d]$ (come vedi la chiusura a sinistra serve lo stesso). In ogni caso anche la tesi è leggermente più forte visto che dimostri la lipschitzianità su tutto l'intervallo di definizione.
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