Teorema passaggio al limite sotto il segno di derivata
Ciao ragazzi,
sto studiando questo teorema:
Sia ${f_n}$ una successione di funzioni di classe $C^1([a,b])$ e supponiamo che:
$1)$ $ EE x_0 in [a,b]$ tale che $ {f_n(x_0)}$ converge e $lim_(n->oo)f_n(x_0)=l $
$2)$ ${f'_n}$ converge uniformemente a $g$ in $[a,b]$
Allora:
$a)$ ${f_n}$ converge uniformemente a $f$ in $[a,b]$
$b)$ $(lim_(n->oo)f_n(x))'=lim_(n->oo)f'_n(x)$
Vorrei una mano per la dimostrazione, in particolare per il secondo punto ($b)$)
Per la prima parte basta sfruttare le conseguenze del teorema fondamentale del calcolo integrale e le definizioni di convergenza uniforme ma per la seconda parte non so proprio come comportarmi!!!
Vi ringrazio
sto studiando questo teorema:
Sia ${f_n}$ una successione di funzioni di classe $C^1([a,b])$ e supponiamo che:
$1)$ $ EE x_0 in [a,b]$ tale che $ {f_n(x_0)}$ converge e $lim_(n->oo)f_n(x_0)=l $
$2)$ ${f'_n}$ converge uniformemente a $g$ in $[a,b]$
Allora:
$a)$ ${f_n}$ converge uniformemente a $f$ in $[a,b]$
$b)$ $(lim_(n->oo)f_n(x))'=lim_(n->oo)f'_n(x)$
Vorrei una mano per la dimostrazione, in particolare per il secondo punto ($b)$)
Per la prima parte basta sfruttare le conseguenze del teorema fondamentale del calcolo integrale e le definizioni di convergenza uniforme ma per la seconda parte non so proprio come comportarmi!!!
Vi ringrazio
Risposte
Segue subito dal punto a); fai attenzione a quanto viene $f$, cosa che non hai detto.
$f=l+int_(a)^(b)g(t)dt$ giusto?
Credo che nelle ipotesi o nella tesi dovresti definire questa $f(x)$ altrimenti non si capisce bene di cosa si stia parlando.
Per la dimostrazione del punto b) usi sostanzialmente il passaggio al limite sotto il segno di integrale per le $f'(x)$, dopo aver applicato il TFC per dire che $f_n(x) = f_n(x_0) + int_(x_0)^x f'_n(t)dt$. Passando al limite ottieni $f(x) = f(x_0) + int_(x_0)^x g_n(t)dt$ (che lo puoi scrivere per continuità di $g(x)$) e quindi derivando rispetto a $x$ segue la tesi.
Per la dimostrazione del punto b) usi sostanzialmente il passaggio al limite sotto il segno di integrale per le $f'(x)$, dopo aver applicato il TFC per dire che $f_n(x) = f_n(x_0) + int_(x_0)^x f'_n(t)dt$. Passando al limite ottieni $f(x) = f(x_0) + int_(x_0)^x g_n(t)dt$ (che lo puoi scrivere per continuità di $g(x)$) e quindi derivando rispetto a $x$ segue la tesi.
Forse mi sono dimenticata di dire che $f$ è di classe $C^1$
Per la prima parte io dimostro in questo modo:
Considero la conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale quindi:
se $f$ è continua su $I$ aperto e $G$ una qualunque primitiva di $f$ su $I$ allora dati $a,b in I , int_(a)^(b) f(t)dt=G(b)-G(a)$
Se $g$ è di classe $C^1$ allora $int_(a)^(b) g'(t)dt=g(b)-g(a)$
Considerato questo io posso scrivere che $int_(x_0)^(x)f'_n(t)dt=f_n(x)-f_n(x_0)$
cioè $f_n(x)=f_n(x_0)+int_(x_0)^(x)f'_n(t)dt$ ponendo sotto sotto limite ottengo $f(x)=l+int_(x_0)^(x)g(t)dt$ che è la mia funzione limite puntuale
Adesso devo far vedere che converge uniformemente a $f$ in $[a,b]$
Quindi sfrutto la definizione di covergenza uniforme e ottengo:
$|f_(x)-f(x)|=|f_n(x_0)+int_(x_0)^(x)f'_n(t)dt-l-int_(x_0)^(x)g(t)dt|<=..........<=$sup_(t in [a,b])$|f'_n(t)-g(t)|(b-a)$
Dopodichè dimostro che quello che ho trovato è $< epsilon$
Per la prima parte io dimostro in questo modo:
Considero la conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale quindi:
se $f$ è continua su $I$ aperto e $G$ una qualunque primitiva di $f$ su $I$ allora dati $a,b in I , int_(a)^(b) f(t)dt=G(b)-G(a)$
Se $g$ è di classe $C^1$ allora $int_(a)^(b) g'(t)dt=g(b)-g(a)$
Considerato questo io posso scrivere che $int_(x_0)^(x)f'_n(t)dt=f_n(x)-f_n(x_0)$
cioè $f_n(x)=f_n(x_0)+int_(x_0)^(x)f'_n(t)dt$ ponendo sotto sotto limite ottengo $f(x)=l+int_(x_0)^(x)g(t)dt$ che è la mia funzione limite puntuale
Adesso devo far vedere che converge uniformemente a $f$ in $[a,b]$
Quindi sfrutto la definizione di covergenza uniforme e ottengo:
$|f_(x)-f(x)|=|f_n(x_0)+int_(x_0)^(x)f'_n(t)dt-l-int_(x_0)^(x)g(t)dt|<=..........<=$sup_(t in [a,b])$|f'_n(t)-g(t)|(b-a)$
Dopodichè dimostro che quello che ho trovato è $< epsilon$
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