Teorema moltiplicatori di Lagrange

[pasquale.caputo.9028]

Salve a tutti sto preparando l'esame di analisi 2 e sto affrontando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange pero non mi e chiaro un passaggio che ha fatto la prof nella dimostrazione del teorema che vi riporto:
$f: A sube RR^k rarr RR$
$\barg: A rarrRR^m$
$V={\bar x in A: g(\bar x)= \bar0}$
$L: (\bar x,\barlambda)in AXRR^mrarr f(\barx)-\barlambdag(\barx) in RR$
"Siano $f,g in C_(A)^1$ se $\bar x^{\prime}$ è un punto di max condizionato per f su V( vincolo) e se il rango della matrice Jacobiana di $g(\bar x)$ nei punti di V è m allora $EE\bar lambda^{\prime}inRR^m$ in modo che $(\bar x^{\prime},\bar lambda^{\prime})$ è un punto stazionario della $L(\barx,\barlambda)$"
Dimostrazione
k=2 m=1 $V={(x,y)inA:g(x,y)=0}$
$Jg(\barx)=nablag(x,y)=[g_x(x,y),g_y(x,y)]$
$nablag(x,y)!=0 AA(x,y)inV$
$L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdag(x,y)$
$(x^{\prime},y^{\prime})inV =>g(x^{\prime},y^{\prime})=0 ;g_y(x^{\prime},y^{\prime})!=0$
Possiamo applicare il teorema del Dini e quindi abbiamo:
$=> EEI_(<\barx^{\prime}>) EEJ_(<\bary^{\prime}>): IXJinAEEyinC_I^1:y^{\prime}=y(x^{\prime}),AA x in I ,y(x) in I: g(x,y(x))=0$
Fin qui tutto chiaro più o meno poi adesso c'è la parte che mi è un po meno chiara
$F: x in I rarrf(x,y(x)), FinC_I^1,F^{\prime}(x)=f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))y^{\prime}(x^{\prime})$(derivata che non ho capito come si è calcolata)
$AA x in I, F(\barx)=f(x,y(x))<=f(x^{\prime},y^{\prime})=f(x^{\prime},y(x^{\prime}))=F(\barx^{\prime})=>F^{\prime}(\barx^{\prime})$
Adesso la prof si costruisce questo sistema che io non ho capito
${f_x(x^{\prime},y(x^{\prime}))+f_y(x^{\prime},y(x^{\prime}))y^{\prime}(x^{\prime})=0; g_x(x^{\prime},y(x^{\prime}))+g_y(x^{\prime},y(x^{\prime}))y^{\prime}(x^{\prime})=0$
E dice che $(1,y^{\prime}(x^{\prime}))$ è una sua soluzione non banale(non so come è riuscita a ricavarla) e dice che $nablaf(x,y(x))$ e $nablag(x,y(x))$ sono dipendenti quindi
$EElambda^{\prime} in RR\{0} : nablaf(x^{\prime},y(x^{\prime}))=lambda^{\prime}nablag(x^{\prime},y(x^{\prime}))$ e poi dice che
$f_x(x^{\prime},y^{\prime})-lambda^{\prime}g_x(x^{\prime},y^{\prime})=0 => L_x(x^{\prime},y^{\prime},lambda^{\prime})=0$
$f_y(x^{\prime},y^{\prime})-lambda^{\prime}g_y(x^{\prime},y^{\prime})=0 => L_y(x^{\prime},y^{\prime},lambda^{\prime})=0$
$L_lambda(x^{\prime},y^{\prime},lambda^{\prime})=-g(x^{\prime},y^{\prime})$
Io non riesco a capire i passaggi da dopo che ha applicato il teorema del dini.. mi riuscite ad aiutare?

[dissonance]

Non mi piace molto questa dimostrazione, per come la hai posta tu, è inutilmente complicata. Veditela su un libro di testo, sicuramente sarà più semplice.