Teorema mancante serie di potenze
Salve, in un esercizio sulle serie di potenze il professore calcola il raggio di convergenza della serie e dice che la serie converge puntualmente nell'intervallo aperto $(-r,r)$, con r raggio di convergenza. Fin qui è banale. Poi studia la convergenza agli estremi, e trova che in r e -r la serie numerica non è convergente, quindi nell'intervallo chiuso $[-r,r]$ la serie di potenze non converge puntualmente e quindi neanche uniformemente e totalmente. Fin qui ci sono. Poi, dal fatto che non c'è convergenza totale nell'intervallo chiuso $[-r,r]$, deduce che non c'è convergenza totale e quindi uniforme neanche nell'intervallo aperto $(-r,r)$. Da cosa è giustificata quest'ultima deduzione? Forse mi manca qualche teorema....grazie!
Risposte
Per la convergenza totale/uniforme, prova a dimostrare che:
\[
\sup_{x\in]-r,r[} f(x) = \sup_{x\in [-r,r]} f(x)
\]
per ogni \(f\) continua in \([-r,r]\) e chiediti come ciò ti possa aiutare.
\[
\sup_{x\in]-r,r[} f(x) = \sup_{x\in [-r,r]} f(x)
\]
per ogni \(f\) continua in \([-r,r]\) e chiediti come ciò ti possa aiutare.
Ciao, grazie per la risposta, credo di aver capito. In termini molto semplici e molto poco rigorosi, il motivo dovrebbe essere questo. Supponiamo di avere una serie di funzioni che converge totalmente in $(2,3)$. Per definizione ciò significa che il "sup di una "roba" in $x$ e $n$ calcolato su $(2,3)$ viene una successione la cui corrispondente serie è convergente. Se io ora chiudo l'intervallo, cioé considero l'intervallo $[2,3]$, è chiaro (almeno intuitivamente) che questo sup è lo stesso di prima, e quindi la serie converge in $[2,3]$ totalmente. Stesso ragionamento per la convergenza uniforme.
Quindi, in poche parole se una qualunque serie di funzioni converge totalmente/uniformemente in $(a,b)$, posso concludere che converge totalmente/uniformemente anche in $[a,b]$, giusto?
Quindi, in poche parole se una qualunque serie di funzioni converge totalmente/uniformemente in $(a,b)$, posso concludere che converge totalmente/uniformemente anche in $[a,b]$, giusto?
UP!
UP!
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"lisdap":
Ciao, grazie per la risposta, credo di aver capito. In termini molto semplici e molto poco rigorosi, il motivo dovrebbe essere questo. Supponiamo di avere una serie di funzioni che converge totalmente in $(2,3)$. Per definizione ciò significa che il "sup di una "roba" in $x$ e $n$ calcolato su $(2,3)$ viene una successione la cui corrispondente serie è convergente. Se io ora chiudo l'intervallo, cioé considero l'intervallo $[2,3]$, è chiaro (almeno intuitivamente) che questo sup è lo stesso di prima, e quindi la serie converge in $[2,3]$ totalmente. Stesso ragionamento per la convergenza uniforme.
Quindi, in poche parole se una qualunque serie di funzioni converge totalmente/uniformemente in $(a,b)$, posso concludere che converge totalmente/uniformemente anche in $[a,b]$, giusto?
Non proprio...
Quanto dici tu funziona per serie di potenze o, in generale, serie di funzioni continue (perchè?).
Ma in generale non si estende a serie di funzioni qualsiasi. Ad esempio, prendi:
\[
\phi (x) := \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq x<1\\
1 &\text{, se } x=1
\end{cases}
\]
e poni \(f_n(x)=\phi (x)\).
La serie \(\sum f_n\) converge in \([0,1[\) totalmente (e pure uniformemente, ovviamente), perché in realtà essa è la serie nulla; tuttavia, la serie \(\sum f_n\) non converge in tutto \([0,1]\).
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