Teorema limiti e derivate
Ciao a tutti dobbiamo dimostrare un teorema:
come ipotesi abbiamo:
$ lim_(x -> infty ) f(x)+f'(x)=0 $
e dobbiamo dimostrare che:
$ lim_(x -> infty ) f(x)=0 $
Non abbiamo idee! abbiamo provato a fare con la derivata, con il limite.... niente!
Aouto!!
come ipotesi abbiamo:
$ lim_(x -> infty ) f(x)+f'(x)=0 $
e dobbiamo dimostrare che:
$ lim_(x -> infty ) f(x)=0 $
Non abbiamo idee! abbiamo provato a fare con la derivata, con il limite.... niente!
Aouto!!
Risposte
Immagino il limite sia per $x\to +\infty$, altrimenti la funzione $f(x) = e^{-x}$ fornisce un controesempio per $x\to -\infty$.
Detto questo, puoi considerare ad esempio la funzione ausiliaria $h(x) = e^x f(x)$; una volta calcolato il limite
$\lim_{x\to +\infty} \frac{h'(x)}{e^x}$
basta poi applicare il teorema di l'Hopital (oppure ragionare in maniera diretta applicando il teorema di Cauchy).
Detto questo, puoi considerare ad esempio la funzione ausiliaria $h(x) = e^x f(x)$; una volta calcolato il limite
$\lim_{x\to +\infty} \frac{h'(x)}{e^x}$
basta poi applicare il teorema di l'Hopital (oppure ragionare in maniera diretta applicando il teorema di Cauchy).
si si è $+ infty$, come si ragiona con lagrange? con la funzione ausiliaria ?
Allora io ho impostato così il mio ragionamento.... spero che non faccia acqua:
Applico lagrange alla funzione $f(x)$ e passo al limite
$
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-f(x_0)/(x-x_0)=f'(\alpha)[/tex]
se f è limitata allora quel limite va a 0 quindi $f'(\alpha)=0$
sostituendo nell'ipotesi trovo quindi che $f(x)=0$
Ma se $f$ non è limitata??
Applico lagrange alla funzione $f(x)$ e passo al limite
$
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-f(x_0)/(x-x_0)=f'(\alpha)[/tex]
se f è limitata allora quel limite va a 0 quindi $f'(\alpha)=0$
sostituendo nell'ipotesi trovo quindi che $f(x)=0$
Ma se $f$ non è limitata??
Una volta osservato che
$\lim_{x\to +\infty} \frac{h'(x)}{e^x} = 0$,
per ogni $\epsilon >0$ esiste $K\in RR$ tale che
$\frac{|h'(x)|}{e^x} \le \epsilon$ per ogni $x\ge K$.
Di conseguenza, se $x>K$ puoi applicare il teorema di Cauchy nell'intervallo $[K, x]$; esiste dunque $\xi\in (K,x)$ tale che
$\frac{h(x)-h(K)}{e^x-e^K} = \frac{h'(\xi)}{e^{\xi}}$,
da cui
$\frac{|h(x)|}{e^x} \le \frac{|h(x)-h(K)|}{e^x}+\frac{|h(K)|}{e^x}\le \frac{|h(x)-h(K)|}{e^x-e^K}+\frac{|h(K)|}{e^x}$
$ \le \epsilon +\frac{|h(K)|}{e^x}$ per ogni $x>K$.
Di conseguenza
$"limsup"_{x\to +\infty} \frac{|h(x)|}{e^x} <\epsilon$.
Poiché questo vale per ogni $\epsilon > 0$, segue la tesi.
$\lim_{x\to +\infty} \frac{h'(x)}{e^x} = 0$,
per ogni $\epsilon >0$ esiste $K\in RR$ tale che
$\frac{|h'(x)|}{e^x} \le \epsilon$ per ogni $x\ge K$.
Di conseguenza, se $x>K$ puoi applicare il teorema di Cauchy nell'intervallo $[K, x]$; esiste dunque $\xi\in (K,x)$ tale che
$\frac{h(x)-h(K)}{e^x-e^K} = \frac{h'(\xi)}{e^{\xi}}$,
da cui
$\frac{|h(x)|}{e^x} \le \frac{|h(x)-h(K)|}{e^x}+\frac{|h(K)|}{e^x}\le \frac{|h(x)-h(K)|}{e^x-e^K}+\frac{|h(K)|}{e^x}$
$ \le \epsilon +\frac{|h(K)|}{e^x}$ per ogni $x>K$.
Di conseguenza
$"limsup"_{x\to +\infty} \frac{|h(x)|}{e^x} <\epsilon$.
Poiché questo vale per ogni $\epsilon > 0$, segue la tesi.
Sono senza parole, non ci avrei mai pensato!
immagino che se ho come ipotesi
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)+ 2\sqrt{x}f'(x) =0[/tex]
è identico il ragionamento no? posso tenere qualcosa del vecchio senza risciverlo daccapo?[/tex]
immagino che se ho come ipotesi
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)+ 2\sqrt{x}f'(x) =0[/tex]
è identico il ragionamento no? posso tenere qualcosa del vecchio senza risciverlo daccapo?[/tex]
Puoi provare a ripetere il ragionamento usando $h(x) = e^{\sqrt{x}} f(x)$.
PS: nel post precedente c'era un'imprecisione: l'ultimo limite è un limsup.
Se non ti piace il limsup, puoi ragionare sulla penultima disuguaglianza: poiché $|h(K)| / e^x \to 0$ per $x\to +\infty$, esiste $a\ge K$ tale che
$|h(K)|/e^x < \epsilon$ per ogni $x>a$, dunque $|h(x)|/e^x < 2\epsilon$ per ogni $x>a$.
PS: nel post precedente c'era un'imprecisione: l'ultimo limite è un limsup.
Se non ti piace il limsup, puoi ragionare sulla penultima disuguaglianza: poiché $|h(K)| / e^x \to 0$ per $x\to +\infty$, esiste $a\ge K$ tale che
$|h(K)|/e^x < \epsilon$ per ogni $x>a$, dunque $|h(x)|/e^x < 2\epsilon$ per ogni $x>a$.
Non è più giusto $e^{2\sqrt{x}}$'??
GRAZIE DI TUTTO
GRAZIE DI TUTTO
"MrLory1990":
Non è più giusto $e^{2\sqrt{x}}$'??
Non mi sembra: se $h(x) = e^{\sqrt{x}} f(x)$, allora
$h'(x) = e^{\sqrt{x}} (1/(2\sqrt{x}) f(x) + f'(x)) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} (f(x) + 2\sqrt{x} f'(x))$,
quindi
$\lim_{x\to +\infty} \frac{h'(x)}{[ e^{\sqrt{x}}/(2\sqrt{x})]} = 0$.
Direi che più in generale si può dimostrare quanto segue.
Sia $f$ una funzione derivabile nella semiretta $[a, +\infty)$, e sia $g$ una funzione continua e positiva in $[a, +\infty)$.
Supponiamo che
(a) $\lim_{x\to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0$;
(b) $\lim_{x\to +\infty} [ f(x) + g(x) f'(x) ] = 0$.
Allora $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$.
Sia $f$ una funzione derivabile nella semiretta $[a, +\infty)$, e sia $g$ una funzione continua e positiva in $[a, +\infty)$.
Supponiamo che
(a) $\lim_{x\to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0$;
(b) $\lim_{x\to +\infty} [ f(x) + g(x) f'(x) ] = 0$.
Allora $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$.
non dovrebbe essere così?
Sia $f$ una funzione derivabile nella semiretta $[a,+infty)$, e sia $g$ una funzione continua e positiva in $[a,+infty)$.
Supponiamo che:
(a) $\lim_{x\to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0$;
(b) $\lim_{x\to +\infty} [ f(x) + g(x) f'(x) ] = 0$.
Allora $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$
Sia $f$ una funzione derivabile nella semiretta $[a,+infty)$, e sia $g$ una funzione continua e positiva in $[a,+infty)$.
Supponiamo che:
(a) $\lim_{x\to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0$;
(b) $\lim_{x\to +\infty} [ f(x) + g(x) f'(x) ] = 0$.
Allora $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$
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