Teorema: le funzioni differenziabili sono lipschitziane
ciao a tutti,
mi dareste una mano almeno ad impostare la dimostrazione del teorema in oggetto?
chiarisco meglio le ipotesi:
abbiamo una funzione $f$ che va da un aperto $A$ di $RR^N$ ad $RR^M$: $f: A \subseteq RR^N -> RR^M$
tale funzione è differenziabile in tutto $A$.
si verifica che, dati due qualsiasi punti $x_0 \in A$ e $x_0 + h \in A$ tali che il segmento che li unisce è ancora contenuto in $A$,
ALLORA:
$f$ è lipschitziana in $A$: $|f(x_0+h) - f(x_0)| <= C|h|$
$C$ dovrebbe avere una forma particolare, legata alla norma del differenziale di $f$: $df$... ma a me interessa in particolare dimostrare che la funzione sia lipschitziana e, come conseguenza della impostazione della dimostrazione, penso dovrei trovare qual è la costante $C$.
come posso procedere?
a me è venuto solo in mente di giocare un attimo con la definizione di funzione differenziabile, ma non sono arrivato a nulla di concreto. questo è ciò che ho pensato:
"f differenziabile" significa che esiste un operatore lineare $df$ tale che: $f(x_0+h) - f(x_0) - df(x_0)h = o(|h|)$
portando tutto a sinistra e applicando il modulo: $|f(x_0+h) - f(x_0) - df(x_0)h - o(|h|)| = 0$
per dis. triangolare del modulo, ottengo ora: $|f(x_0+h) - f(x_0) - df(x_0)h - o(|h|)| <= |f(x_0+h) - f(x_0)| + |df(x_0)h| + o(|h|)$
e... poi boh
devo puntare all'oggetto $|df(x_0)h| = |df(x_0)||h|$ perchè è l'unico che è moltiplicato per l'incremento $|h|$... ma non credo di riuscire a cavarmela così.
aiutino...?
mi dareste una mano almeno ad impostare la dimostrazione del teorema in oggetto?
chiarisco meglio le ipotesi:
abbiamo una funzione $f$ che va da un aperto $A$ di $RR^N$ ad $RR^M$: $f: A \subseteq RR^N -> RR^M$
tale funzione è differenziabile in tutto $A$.
si verifica che, dati due qualsiasi punti $x_0 \in A$ e $x_0 + h \in A$ tali che il segmento che li unisce è ancora contenuto in $A$,
ALLORA:
$f$ è lipschitziana in $A$: $|f(x_0+h) - f(x_0)| <= C|h|$
$C$ dovrebbe avere una forma particolare, legata alla norma del differenziale di $f$: $df$... ma a me interessa in particolare dimostrare che la funzione sia lipschitziana e, come conseguenza della impostazione della dimostrazione, penso dovrei trovare qual è la costante $C$.
come posso procedere?
a me è venuto solo in mente di giocare un attimo con la definizione di funzione differenziabile, ma non sono arrivato a nulla di concreto. questo è ciò che ho pensato:
"f differenziabile" significa che esiste un operatore lineare $df$ tale che: $f(x_0+h) - f(x_0) - df(x_0)h = o(|h|)$
portando tutto a sinistra e applicando il modulo: $|f(x_0+h) - f(x_0) - df(x_0)h - o(|h|)| = 0$
per dis. triangolare del modulo, ottengo ora: $|f(x_0+h) - f(x_0) - df(x_0)h - o(|h|)| <= |f(x_0+h) - f(x_0)| + |df(x_0)h| + o(|h|)$
e... poi boh
devo puntare all'oggetto $|df(x_0)h| = |df(x_0)||h|$ perchè è l'unico che è moltiplicato per l'incremento $|h|$... ma non credo di riuscire a cavarmela così.aiutino...?
Risposte
Questa cosa non è vera se \(N=M=1\).
Infatti la funzione:
\[
f(x):=x^{3/2}\ \sin \frac{1}{x}
\]
è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), però non è Lipschitziana in alcun intorno di \(0\).
Perciò non credo che il tuo teorema sia vero in generale.
Infatti la funzione:
\[
f(x):=x^{3/2}\ \sin \frac{1}{x}
\]
è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), però non è Lipschitziana in alcun intorno di \(0\).
Perciò non credo che il tuo teorema sia vero in generale.
uhm... allora devo farti parlare col mio docente di analisi matematica perchè questo teorema non me lo sono inventato io... è preso tale e quale dai suoi appunti. ecco infatti il teorema: http://i.minus.com/j3WV8P1MUYM3t.png
c'è anche la dimostrazione, ma ho chiesto qui aiuto perchè... beh, non mi piace tanto quella proposta dal docente.
edit:
comunque perdonami ma... in $x = 0$ quella funzione non è neanche definita, per cui... come può essere derivabile in quel punto?
c'è anche la dimostrazione, ma ho chiesto qui aiuto perchè... beh, non mi piace tanto quella proposta dal docente.
edit:
comunque perdonami ma... in $x = 0$ quella funzione non è neanche definita, per cui... come può essere derivabile in quel punto?
Come al solito, si sta facendo l'ipotesi che il differenziale sia localmente limitato, senza dirlo.
ok, mea culpa, non l'ho detto. anche se non riesco ancora ad accettare il fatto che la funzione che hai proposto sia derivabile/differenziabile su tutto $RR$.
ma tornando al teorema... assodato ora -credo- che sia vero, sai propormi un incipit per una dimostrazione "più naturale"? cioè magari non per assurdo e che non ricorra ad artifici quali la costruzione di insiemi particolari?
ma tornando al teorema... assodato ora -credo- che sia vero, sai propormi un incipit per una dimostrazione "più naturale"? cioè magari non per assurdo e che non ricorra ad artifici quali la costruzione di insiemi particolari?
"Ziel van brand":
ok, mea culpa, non l'ho detto. anche se non riesco ancora ad accettare il fatto che la funzione che hai proposto sia derivabile/differenziabile su tutto $RR$.
L'unico punto in cui ci sono problemi è \(0\), però il rapporto incrementale converge lì, dunque...
"Ziel van brand":
ma tornando al teorema... assodato ora -credo- che sia vero, sai propormi un incipit per una dimostrazione "più naturale"? cioè magari non per assurdo e che non ricorra ad artifici quali la costruzione di insiemi particolari?
Per assurdo non ci riesci, secondo me.
Poi quella non mi pare affatto male come dimostrazione, dato che usa solo lo sviluppo di Taylor al primo ordine e poco più.
P.S.: Simpatici quegli appunti... Sono scritti con IPad?
lucidi scritti a penna...
mah, dovrò chiedergli di spiegarmi per bene un passaggio e la logica che regge l'intera dimostrazione allora.
funzionerà pure, a me semplicemente non piace.
mah, dovrò chiedergli di spiegarmi per bene un passaggio e la logica che regge l'intera dimostrazione allora.
funzionerà pure, a me semplicemente non piace.
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