Teorema integrale di Cauchy
salve vorrei chiedervi un chiarimento su questo teorema.
Non scirvo ipotesi tesi e dimostrazione perché credo sia una cosa abbastanza comune a tutti i corsi di analisi.
Io devo dimostrare questo teorema solo nel caso più semplice in cui le derivate parziali di f siano continue.
Con questa ipotesi aggiuntiva valgono le formule di Gauss Green. A questo punto tenendo presente la condizione di Cauchy-Riemann (con qualche incertezza) concludo che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ è nullo.
Questo è il passaggio incriminato:
il libro dice che l'integrale doppio esteso a D di $-X_y+Y_x$ è nullo; io ho capito perchè l'integrando è nullo, ma questo mi autorizza subito a dire che anche l'integrale è nullo?
Comunque il mio problema principale è che il mio libro e anche i miei appunti mi dicono che dal fatto che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ sia nullo posso ricavare banalmente la tesi (simpatico questo banalmente!
)
Grazie a chiunque mi darà una mano
PS: se questo teorema integrale di Cauchy fosse meno famoso di quello che credo io, fra qualche giorno in mancanza di risposte, posterò ipotesi tesi e dimostrazione in mdo da rendere il mio dubbio chiaro.
Non scirvo ipotesi tesi e dimostrazione perché credo sia una cosa abbastanza comune a tutti i corsi di analisi.
Io devo dimostrare questo teorema solo nel caso più semplice in cui le derivate parziali di f siano continue.
Con questa ipotesi aggiuntiva valgono le formule di Gauss Green. A questo punto tenendo presente la condizione di Cauchy-Riemann (con qualche incertezza) concludo che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ è nullo.
Questo è il passaggio incriminato:
il libro dice che l'integrale doppio esteso a D di $-X_y+Y_x$ è nullo; io ho capito perchè l'integrando è nullo, ma questo mi autorizza subito a dire che anche l'integrale è nullo?
Comunque il mio problema principale è che il mio libro e anche i miei appunti mi dicono che dal fatto che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ sia nullo posso ricavare banalmente la tesi (simpatico questo banalmente!
)Grazie a chiunque mi darà una mano
PS: se questo teorema integrale di Cauchy fosse meno famoso di quello che credo io, fra qualche giorno in mancanza di risposte, posterò ipotesi tesi e dimostrazione in mdo da rendere il mio dubbio chiaro.
Risposte
"Feliciano":
Questo è il passaggio incriminato:
il libro dice che l'integrale doppio esteso a D di $-X_y+Y_x$ è nullo; io ho capito perchè l'integrando è nullo, ma questo mi autorizza subito a dire che anche l'integrale è nullo?
In sostanza non sai calcolare $\int\int_D 0" d"x"d"y$?
A volte mi viene da chiedermi se i corsi di Analisi di base servano ancora a qualcosa... Visti i risultati, tanto varrebbe abolirli e sostituirli con dei corsi di scopone scientifico.
"Feliciano":
Comunque il mio problema principale è che il mio libro e anche i miei appunti mi dicono che dal fatto che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ sia nullo posso ricavare banalmente la tesi (simpatico questo banalmente!
Scusa ma la tesi del teorema di Cauchy non è proprio l'uguaglianza $\int_(\partial D) f(z)" d"z=0$?
Ad ogni modo, non basta (evidentemente) che quell'integrale sia zero, poiché la forma differenzaile complessa $f(z)" d"z$ ha una parte reale ed un parte immaginaria: dai uno sguardo qui.
grazie per la veloce risposta.
sinceramente l'integrale doppio di 0 non ho mai provato a calcolarlo esplicitamente, ma diciamo che posso anche accettare faccia proprio 0 (domattina a mente fresca la prima cosa che faccio è provare a calcolarlo)
Il dubbio principale era sul secondo quesito:
come faccio "banalmente" dal fatto che l'integrale doppio di $-X_y+Y_x$ è nullo a ricavare che l'integrale di $f(z)$ esteso alla frontiera del dominia D sia nullo.
sinceramente l'integrale doppio di 0 non ho mai provato a calcolarlo esplicitamente, ma diciamo che posso anche accettare faccia proprio 0 (domattina a mente fresca la prima cosa che faccio è provare a calcolarlo)
Il dubbio principale era sul secondo quesito:
come faccio "banalmente" dal fatto che l'integrale doppio di $-X_y+Y_x$ è nullo a ricavare che l'integrale di $f(z)$ esteso alla frontiera del dominia D sia nullo.
"Feliciano":
grazie per la veloce risposta.
sinceramente l'integrale doppio di 0 non ho mai provato a calcolarlo esplicitamente, ma diciamo che posso anche accettare faccia proprio 0 (domattina a mente fresca la prima cosa che faccio è provare a calcolarlo)
Ma vabbè, per linearità (se proprio non vuoi usare la definizione con le somme integrali...):
$\int\int_D 0" d"x"d"y=0*\int\int_D " d"x"d"y=0*m(D)=0$
(qui $m(D)$ è la misura di $D$).
"Feliciano":
Il dubbio principale era sul secondo quesito:
come faccio "banalmente" dal fatto che l'integrale doppio di $-X_y+Y_x$ è nullo a ricavare che l'integrale di $f(z)$ esteso alla frontiera del dominia D sia nullo.
Ho aggiornato il post precedente; il link è abbastanza chiarificatore.
Grazie del link, avevo già guardato quella pagina, la dimostrazione è un po' diversa da quella del mio libro. Comuqne adesso cerco di essere più chiaro
"Feliciano":
grazie per la veloce risposta.
sinceramente l'integrale doppio di 0 non ho mai provato a calcolarlo esplicitamente, ma diciamo che posso anche accettare faccia proprio 0 (domattina a mente fresca la prima cosa che faccio è provare a calcolarlo)
Il dubbio principale era sul secondo quesito:
come faccio "banalmente" dal fatto che l'integrale doppio di $-X_y+Y_x$ è nullo a ricavare che l'integrale di $f(z)$ esteso alla frontiera del dominia D sia nullo.
Perche' il teorema di Gauss-Green ti dice che l'integrale di $f$ sulla frontiera e' eguale all'integrale sul dominio di $-X_y+Y_x$. Quest'ultimo, valendo le condizioni di Cauchy-Riemann, risulta essere zero.
Ma non era solo l'integrale della parte reale (o immaginaria) di $f(z)" d"z$ ad essere uguale a quell'integrale doppio?
E poi io le eq. di Cauchy-Riemann io me le ricordo così:
$\{(X_x-Y_y=0),(X_y+Y_x=0):}$
ma forse è solo la notazione che è diversa...
P.S.: Curiosità: che libro è?
E poi io le eq. di Cauchy-Riemann io me le ricordo così:
$\{(X_x-Y_y=0),(X_y+Y_x=0):}$
ma forse è solo la notazione che è diversa...
P.S.: Curiosità: che libro è?
Ipotesi: f è olomorfa in un'aperto
Tesi $int f(x)dz=0$ integrale esteso alla frontiera di un dominio contenuto nell'aperto.
Dimostarzione:
1) dall'olomorfia di f possiamo dimostrare le condizioni di Cauchy-Riemann
2) grazie alle condizioni di Caucy -Riemann possiamo dire che la forma differenziale $Adx+Bdy$ è chiusa, prendendo $A=f$ e $B=jf$, infatti risulta $A_x=B_y$
3) supponiamo a questo punto, giusto per semplicità ma il teorema si dimostar anche senza questa ipotesi aggiuntiva, che $f_x$ e $f_y$ siano funzioni continue
4) con queste ipotesi valgono le formule di Gauss Grenn (che ricordo richiedono appunto la continuità delle funzioni da integrare sul dominio)
5) posso quindi affermare che l'integrale doppio esteso al dominio di $B_x-A_y$ è uguale all'integrale esteso alla frontiera del dominio di $Bdy+Xdx$
6) siccome quella forma differenziale citata prima so che il primo integrale doppio del passaggio 5 è nullo quindi
7)l'integrale esteso alla frontiera del dominio di $Bdy+Adx$ è nullo
8)Il punto 7 implica banalmente che l'integrale esteso alla frontiera del dominio di $f(z)dz$ sia nullo ovvero la tesi che sto cercando.
Non mi è chiaro il passaggio da 7 a 8.
Tesi $int f(x)dz=0$ integrale esteso alla frontiera di un dominio contenuto nell'aperto.
Dimostarzione:
1) dall'olomorfia di f possiamo dimostrare le condizioni di Cauchy-Riemann
2) grazie alle condizioni di Caucy -Riemann possiamo dire che la forma differenziale $Adx+Bdy$ è chiusa, prendendo $A=f$ e $B=jf$, infatti risulta $A_x=B_y$
3) supponiamo a questo punto, giusto per semplicità ma il teorema si dimostar anche senza questa ipotesi aggiuntiva, che $f_x$ e $f_y$ siano funzioni continue
4) con queste ipotesi valgono le formule di Gauss Grenn (che ricordo richiedono appunto la continuità delle funzioni da integrare sul dominio)
5) posso quindi affermare che l'integrale doppio esteso al dominio di $B_x-A_y$ è uguale all'integrale esteso alla frontiera del dominio di $Bdy+Xdx$
6) siccome quella forma differenziale citata prima so che il primo integrale doppio del passaggio 5 è nullo quindi
7)l'integrale esteso alla frontiera del dominio di $Bdy+Adx$ è nullo
8)Il punto 7 implica banalmente che l'integrale esteso alla frontiera del dominio di $f(z)dz$ sia nullo ovvero la tesi che sto cercando.
Non mi è chiaro il passaggio da 7 a 8.
Non è un vero e proprio libro
http://www.docenti.unina.it/downloadPub ... zioni1.pdf
a pagina 42, osservazione 2.2
Le condizioni di Cauchy-Riemann sono invece a pagina 27 1.1
Non è che non studio da un libro vero per risparmiare o fare prima, semplicemente il professore non ce ne ha consigliato nessuno e poi questi appunti (e soprattutto le lezioni) sono abbastanza chiari (tranne qualche piccolo imprevisto).
http://www.docenti.unina.it/downloadPub ... zioni1.pdf
a pagina 42, osservazione 2.2
Le condizioni di Cauchy-Riemann sono invece a pagina 27 1.1
Non è che non studio da un libro vero per risparmiare o fare prima, semplicemente il professore non ce ne ha consigliato nessuno e poi questi appunti (e soprattutto le lezioni) sono abbastanza chiari (tranne qualche piccolo imprevisto).
Come non detto, ma ho fatto un passo, forse importante, passo avanti
Praticamente io so che l'integrale di $Adx+Bdy$ è nullo. A questo punto mi basta ricordare che $A=f$ e $B=jf$.
Quindi posso scrivere che l'integrale esteso alla frontiera di D di $jfdy+fdx$
Ora dovrei cercare di esprimere la funzione complessa f(z) come $fdx+jfdy$
Continuo a ragionare...
Praticamente io so che l'integrale di $Adx+Bdy$ è nullo. A questo punto mi basta ricordare che $A=f$ e $B=jf$.
Quindi posso scrivere che l'integrale esteso alla frontiera di D di $jfdy+fdx$
Ora dovrei cercare di esprimere la funzione complessa f(z) come $fdx+jfdy$
Continuo a ragionare...
"Feliciano":$-X_y+Y_x$
Ipotesi: f è olomorfa in un'aperto
Tesi $int f(x)dz=0$ integrale esteso alla frontiera di un dominio contenuto nell'aperto.
Dimostarzione:
1) dall'olomorfia di f possiamo dimostrare le condizioni di Cauchy-Riemann
2) grazie alle condizioni di Caucy -Riemann possiamo dire che la forma differenziale $Adx+Bdy$ è chiusa, prendendo $A=f$ e $B=jf$, infatti risulta $A_x=B_y$
3) supponiamo a questo punto, giusto per semplicità ma il teorema si dimostar anche senza questa ipotesi aggiuntiva, che $f_x$ e $f_y$ siano funzioni continue
4) con queste ipotesi valgono le formule di Gauss Grenn (che ricordo richiedono appunto la continuità delle funzioni da integrare sul dominio)
5) posso quindi affermare che l'integrale doppio esteso al dominio di $B_x-A_y$ è uguale all'integrale esteso alla frontiera del dominio di $Bdy+Xdx$
6) siccome quella forma differenziale citata prima so che il primo integrale doppio del passaggio 5 è nullo quindi
7)l'integrale esteso alla frontiera del dominio di $Bdy+Xdx$ è nullo
8)Il punto 7 implica banalmente che l'integrale esteso alla frontiera del dominio di $f(z)dz$ sia nullo ovvero la tesi che sto cercando.
Non mi è chiaro il passaggio da 7 a 8.
Detto cosi' mi pare che ti manchi il fatto che l'integrale di $f(z)dz$ e' pari all'integrale della forma $Adx+Bdy$ (il tutto sulla frontiera del dominio) che dovrebbe essere una questione di definizioni.
Ah, pure tu a Napoli...
Ad ogni modo, mi pare che questa cosa sul libro di Donato Greco, Complementi di Analisi, sia fatta in maniera più esplicita (ed è in effetti molto semplice).
Cerca in biblioteca.
Ad ogni modo, mi pare che questa cosa sul libro di Donato Greco, Complementi di Analisi, sia fatta in maniera più esplicita (ed è in effetti molto semplice).
Cerca in biblioteca.
Per Gugo
domani mattina cerco
Per Vicious
Hai centrato il punto!
Se riuscissi a darmi qualceh diritta te ne sarei grato. Dici che è questione di definizioni ma di cosa? devo guardare le definizioni di integrali o di funzioni complesse?
domani mattina cerco
Per Vicious
Hai centrato il punto!
Se riuscissi a darmi qualceh diritta te ne sarei grato. Dici che è questione di definizioni ma di cosa? devo guardare le definizioni di integrali o di funzioni complesse?
"Feliciano":
Per Gugo
domani mattina cerco
Per Vicious
Hai centrato il punto!
Se riuscissi a darmi qualceh diritta te ne sarei grato. Dici che è questione di definizioni ma di cosa? devo guardare le definizioni di integrali o di funzioni complesse?
devi vedere come e' stato definito $\int_\gamma f(z)dz$ - credo che coincida per definizione con $\int_\gamma Adx+Bdy$
Ho controllato sull'ottimo libro consigliatomi da Gugo e la cosa è effettivamente banale.
Basta tenere presente la definizione di integrale curvilineo di funzioni complesse di variabile complessa.
Comunque devo dire che le mie incertezze erano abbastanza giustificate anche perché per la dimostrazione bisogna applicare DUE VOLTE le formule di Gauss Green e non una volta come avevo capito io.
Grazie mille a tutit quelli che sono intervenuti.
Basta tenere presente la definizione di integrale curvilineo di funzioni complesse di variabile complessa.
Comunque devo dire che le mie incertezze erano abbastanza giustificate anche perché per la dimostrazione bisogna applicare DUE VOLTE le formule di Gauss Green e non una volta come avevo capito io.
Grazie mille a tutit quelli che sono intervenuti.
"Feliciano":
Ho controllato sull'ottimo libro consigliatomi da Gugo e la cosa è effettivamente banale.
Basta tenere presente la definizione di integrale curvilineo di funzioni complesse di variabile complessa.
Comunque devo dire che le mie incertezze erano abbastanza giustificate anche perché per la dimostrazione bisogna applicare DUE VOLTE le formule di Gauss Green e non una volta come avevo capito io.
Grazie mille a tutit quelli che sono intervenuti.
Sono contento per te.
Comunque mi pare che Gauss Greeen si applichi una volta sola - inoltre il punto 2) dello schema sopra mi pare inutile (nell'economia della dimostrazione).
A me pare che una volta che le condizioni di C.R. ti dicono che $B_x-A_y=0$, usando Gauss-Green trovi che l'integrale sullla frontiera di $Adx+Bdy$ fa zero.
Ma quest'ultimo integrale e' per definizione l'integrale complesso di $f$ sulla frontiera.
Pero' puo' darsi che mi sfugga qualche dettaglio (in queste dimostrazioni ci sono vari approcci a volte abbastanza diversi a seconda di cio' che si da' per buono -
la parte assolutamente non banale e' il teorema di Gauss-Greeen o sue formulazioni equivalenti)
Ciao
è assolutamente vero che gli approcci cambiano molto da libro a libro. Per me la cosa è risolta, comunque per maggiore sicurezza stasera posterò la dimostrazione completa così come la ho capita io e voi gli darete uno sguardo.
Un saluto
Un saluto
scusate il ritardo ma in questi giorni ho dovuto dare la precedenza ad altre materie. Comunque vi prego di controllare questa dimostrazione che a me sembra giusta.
Partiamo innanzitutto col dire che l'integrale di una funzione complessa di variabile complessa esteso a una curva è "per definizione" (cioè data la definizione di funzione complessa come funzione a due variabili e calcolando le derivate si giunge a questo)
$intf(z)dz=int(udx-vdy)+jint(udy+vdx)$
E QUESTO ERA IL PASSAGGIO CHE MI MANCAVA
Adesso io faccio l'ipotesi che f sia olomora in un'aperto A, e che esista un dominio limitato D contenuto in A. Con quest eipotesi voglio dimostrare che $intf(z)dz=0$ dove l'integrale è esteso alla frontiera di D.
Per la dimostrazione so che l'olomorfia di f mi assicura che valga quella che viene chiamata condizione di cauchy-riemann ovvero che $f_x=1/jf_y$ che scritta in maniera differente (prendendo $f(z)=u+jv$) diventa $u_x=v_y$ e $v_x=u_y$.
(Quindi posso dire che la forma differenziale $vdx+udy$ è una forma differenziale chiusa, ma d'altronde lo è anche udy+vdx.)
Il fatto che queste forme siano chiuse ( e quindi esatte dato che sicuramente D sara un dominio semplicemente connesso)è un'osservazione che mi assicura che la definizione che ho dato di integrale è lecita in quanto esistono gli integrali delle due forme differenziali messe a secondo membro.
Adesso ipotizzo che $f_x$ e $f_y$ siano a loro volta funzioni continue. questa ipotesi aggiuntiva (non necessaria perché il teorema si dimostra anche senza questa ulteriore ipotesi) mi permette di applicare le formule di Gauss Green, ovvero mi permette di dire:
$int(udx-vdy)=-intint(-u_x+v_y)$
l'integrale a secondo membro è nullo perchè l'integrando è nullo grazie alla condizione di cauchy-Riemann
Allo stesso modo
$int(udy+vdx)=-intint(u_y+v_x)$
dove il secondo integrale è sempre nullo perché è nullo l'integrando sempre grazie alla condizione di cauchy-Riemann.
A questo punto l'integrale di f (ricordando appunto la definizone di integrale) è banalmente uguale a $0+0j=0$
E il teorema è dimostrato.
Vissero tutti felici e contenti?
Partiamo innanzitutto col dire che l'integrale di una funzione complessa di variabile complessa esteso a una curva è "per definizione" (cioè data la definizione di funzione complessa come funzione a due variabili e calcolando le derivate si giunge a questo)
$intf(z)dz=int(udx-vdy)+jint(udy+vdx)$
E QUESTO ERA IL PASSAGGIO CHE MI MANCAVA
Adesso io faccio l'ipotesi che f sia olomora in un'aperto A, e che esista un dominio limitato D contenuto in A. Con quest eipotesi voglio dimostrare che $intf(z)dz=0$ dove l'integrale è esteso alla frontiera di D.
Per la dimostrazione so che l'olomorfia di f mi assicura che valga quella che viene chiamata condizione di cauchy-riemann ovvero che $f_x=1/jf_y$ che scritta in maniera differente (prendendo $f(z)=u+jv$) diventa $u_x=v_y$ e $v_x=u_y$.
(Quindi posso dire che la forma differenziale $vdx+udy$ è una forma differenziale chiusa, ma d'altronde lo è anche udy+vdx.)
Il fatto che queste forme siano chiuse ( e quindi esatte dato che sicuramente D sara un dominio semplicemente connesso)è un'osservazione che mi assicura che la definizione che ho dato di integrale è lecita in quanto esistono gli integrali delle due forme differenziali messe a secondo membro.
Adesso ipotizzo che $f_x$ e $f_y$ siano a loro volta funzioni continue. questa ipotesi aggiuntiva (non necessaria perché il teorema si dimostra anche senza questa ulteriore ipotesi) mi permette di applicare le formule di Gauss Green, ovvero mi permette di dire:
$int(udx-vdy)=-intint(-u_x+v_y)$
l'integrale a secondo membro è nullo perchè l'integrando è nullo grazie alla condizione di cauchy-Riemann
Allo stesso modo
$int(udy+vdx)=-intint(u_y+v_x)$
dove il secondo integrale è sempre nullo perché è nullo l'integrando sempre grazie alla condizione di cauchy-Riemann.
A questo punto l'integrale di f (ricordando appunto la definizone di integrale) è banalmente uguale a $0+0j=0$
E il teorema è dimostrato.
Vissero tutti felici e contenti?
@Feliciano
La dimostrazione secondo me va bene.
Aggiungo qualche commento - il teorema e' sottile e merita che ci si rifletta bene (anche se mi pare tu ne abbia capito il senso) .
Avrei da obiettare sulla frase
per due motivi (il primo semplice il secondo piu' delicato - pensaci un po' su se vuoi):
a) per fare l'integrale non c'e' bisogno che la forma sia chiusa/esatta (si puo' ben definire l'integrale complesso per funzioni continue ma non olomorfe) - naturalmente se la forma non e' chiusa (cioe' , per le condizioni di C.R., se la funzione di partenza non e' olomorfa ) il teorema non vale.
b) tu dici che il dominio e' necessariamente semplicemente connesso - dipende. Non so come e' stato enunciato a te il teorema, ma quello che sapevo io e'
(T.C.) Sia $D$ un aperto limitato di $CC$ "con frontiera $\partial D$ regolare"; se $f$ e' continua su $\bar D$ ed e' olomorfa su $D$ allora $\int_{\partial D}f(z) dz=0$
In quanto scritto sopra intendo che la frontiera $\partial D$ di $D$ e' "descritta" da un numero finito di curve e che l'integrale $\int_{\partial D} f(z) dz$ e' la somma degli integrali su ognuna di
queste curve, che devono essere percorse "coerentemente" rispetto a $D$ - per esempio se $D$ e' il cerchio di raggio $R$ allora $\partial D$ (che insiemisticamente e' la
circonferenza di raggio $R$ ) e' descritta dalla curva $\gamma(t)=R\cos(t)+jR\sin(t)$, per $t\in[0,2\pi]$ ( e non da $\gamma(t)=R\cos(t)-j\sin(t)$ che descrive la circonferenza girando in senso opposto);
oppure de $D$ e' la corona di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2$ ( $R_1
e' descritta dalla curva $\gamma_1(t)=R_1\cos(t)-jR_1\sin(t)$.
Si puo' dimostrare che $D$ e' semplicemente connesso se e solo se $\partial D$ e' descritto da una sola curva
(che e' la situazione che hai in mente tu). Pero' il teorema e' vero nella forma piu' generale che ho scritto sopra ( e spesso e' poi utilizzato nel caso generale ).
In realta' la dimostrazione che hai scritto vale nel caso piu' generale dato che il teorema di Gauss-Green VALE in questa situazione
(G.G) $\int_D(P_x+Q_y)dxdy=\int_{\partial D}(-Q dx+P dy) $ (cosi' lo conosco come "teorema della divergenza")
( oppure $\int_{\partial D}(Pdx+Qdy)=\int_D(Q_x-P_y)dx dy$ come mi pare lo scrivevi tu)
intendendo sempre l'integrale sulla frontiera come la somma degli integrali sulle varie curve che descrivono la frontiera.
Forse tutto questo non ti servira' (ma non si sa mai)
La dimostrazione secondo me va bene.
Aggiungo qualche commento - il teorema e' sottile e merita che ci si rifletta bene (anche se mi pare tu ne abbia capito il senso) .
Avrei da obiettare sulla frase
Il fatto che queste forme siano chiuse ( e quindi esatte dato che sicuramente D sara un dominio semplicemente connesso)è un'osservazione che mi assicura che la definizione che ho dato di integrale è lecita in quanto esistono gli integrali delle due forme differenziali messe a secondo membro.
per due motivi (il primo semplice il secondo piu' delicato - pensaci un po' su se vuoi):
a) per fare l'integrale non c'e' bisogno che la forma sia chiusa/esatta (si puo' ben definire l'integrale complesso per funzioni continue ma non olomorfe) - naturalmente se la forma non e' chiusa (cioe' , per le condizioni di C.R., se la funzione di partenza non e' olomorfa ) il teorema non vale.
b) tu dici che il dominio e' necessariamente semplicemente connesso - dipende. Non so come e' stato enunciato a te il teorema, ma quello che sapevo io e'
(T.C.) Sia $D$ un aperto limitato di $CC$ "con frontiera $\partial D$ regolare"; se $f$ e' continua su $\bar D$ ed e' olomorfa su $D$ allora $\int_{\partial D}f(z) dz=0$
In quanto scritto sopra intendo che la frontiera $\partial D$ di $D$ e' "descritta" da un numero finito di curve e che l'integrale $\int_{\partial D} f(z) dz$ e' la somma degli integrali su ognuna di
queste curve, che devono essere percorse "coerentemente" rispetto a $D$ - per esempio se $D$ e' il cerchio di raggio $R$ allora $\partial D$ (che insiemisticamente e' la
circonferenza di raggio $R$ ) e' descritta dalla curva $\gamma(t)=R\cos(t)+jR\sin(t)$, per $t\in[0,2\pi]$ ( e non da $\gamma(t)=R\cos(t)-j\sin(t)$ che descrive la circonferenza girando in senso opposto);
oppure de $D$ e' la corona di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2$ ( $R_1
e' descritta dalla curva $\gamma_1(t)=R_1\cos(t)-jR_1\sin(t)$.
Si puo' dimostrare che $D$ e' semplicemente connesso se e solo se $\partial D$ e' descritto da una sola curva
(che e' la situazione che hai in mente tu). Pero' il teorema e' vero nella forma piu' generale che ho scritto sopra ( e spesso e' poi utilizzato nel caso generale ).
In realta' la dimostrazione che hai scritto vale nel caso piu' generale dato che il teorema di Gauss-Green VALE in questa situazione
(G.G) $\int_D(P_x+Q_y)dxdy=\int_{\partial D}(-Q dx+P dy) $ (cosi' lo conosco come "teorema della divergenza")
( oppure $\int_{\partial D}(Pdx+Qdy)=\int_D(Q_x-P_y)dx dy$ come mi pare lo scrivevi tu)
intendendo sempre l'integrale sulla frontiera come la somma degli integrali sulle varie curve che descrivono la frontiera.
Forse tutto questo non ti servira' (ma non si sa mai)
innanzitutto grazie per i due consigli.
Però vorrei precisare che il mio è un corso di metodi matematici per l'ingegneria, quindi credo che non ho le necessarie conoscenze per argomentare a sufficienza le cose che dici.
Comunque provo almeno a ragionarci un po'
a) riflettendo bene io so che se una forma è chiusa, sotto particolari ipotesi tipo dominio semplicemente connesso questa è anche esatta. Adesso mi sono imbrogliato sulla definizione di forma esatta, il fatto che una forma sia esatta vuol dire che ne esiste una primitiva, non che sia integrabile. (almeno credo che esistenza di primitive e integrabilità siano concetti separati)
NON VI ARRABBIATE SE DICO TROPPE SCIOCCHEZZE ma ripeto non ho approfonditi studi di matematica alle spalle (fondamentalmente a me questo teorema serve per dire che l'integrale lungo una generica circonferenza non dipende dal raggio!)
comunque a questo punto se elimino questo passaggio superfluo dalla dimostrazione non creo problemi perchè la dimostarzione filerebbe lo stesso però dovrò riprendere il libro per cercare di capire che approccio segue, a meno che quello della forma differenziale chiusa non sia una semplice osservazione (cioè come conseguenza delle condizioni di Cauchy Riemann osserva che quelal forma è chiusa ma perchè parlarne ora?). Oppure posso pensare che il fatto che quella forma sia chiusa serva nella dimostarzione del teorema senza l'ipotesi semplificativa che faccio io che $f_x,f_y$ siano continue.
b) riguardo il punto b ho poco da dire. Cioè nessuno mi ha detto esplicitamente che il dominio deve essere semplicemente connesso, è una cosa che ho pensato io per giustificare appunto quel passaggio sul fatto che la forma differenziale è chiusa, per il resto tutto quello che dici sui domini regolari non sono cose su cui ho dubbi e su cui sono certamente daccordo con quello che dici.
Comunque (anche in vista dell'esame) io ho una dimostrazione che so esporre ed argomentare-commentare e nel dubbio introdurrò il fatto che questa forma sia chiusa come semplice osservazione non come passaggio necessario alla dimostarzione. Poi in questi giorni rileggerò meglio il libro e cercherò di capire meglio il suo approccio.
Però diciamo che per il momento posso pensare ad altro! (per esempio le distribuzioni!)
Grazie
Però vorrei precisare che il mio è un corso di metodi matematici per l'ingegneria, quindi credo che non ho le necessarie conoscenze per argomentare a sufficienza le cose che dici.
Comunque provo almeno a ragionarci un po'
a) riflettendo bene io so che se una forma è chiusa, sotto particolari ipotesi tipo dominio semplicemente connesso questa è anche esatta. Adesso mi sono imbrogliato sulla definizione di forma esatta, il fatto che una forma sia esatta vuol dire che ne esiste una primitiva, non che sia integrabile. (almeno credo che esistenza di primitive e integrabilità siano concetti separati)
NON VI ARRABBIATE SE DICO TROPPE SCIOCCHEZZE ma ripeto non ho approfonditi studi di matematica alle spalle (fondamentalmente a me questo teorema serve per dire che l'integrale lungo una generica circonferenza non dipende dal raggio!)
comunque a questo punto se elimino questo passaggio superfluo dalla dimostrazione non creo problemi perchè la dimostarzione filerebbe lo stesso però dovrò riprendere il libro per cercare di capire che approccio segue, a meno che quello della forma differenziale chiusa non sia una semplice osservazione (cioè come conseguenza delle condizioni di Cauchy Riemann osserva che quelal forma è chiusa ma perchè parlarne ora?). Oppure posso pensare che il fatto che quella forma sia chiusa serva nella dimostarzione del teorema senza l'ipotesi semplificativa che faccio io che $f_x,f_y$ siano continue.
b) riguardo il punto b ho poco da dire. Cioè nessuno mi ha detto esplicitamente che il dominio deve essere semplicemente connesso, è una cosa che ho pensato io per giustificare appunto quel passaggio sul fatto che la forma differenziale è chiusa, per il resto tutto quello che dici sui domini regolari non sono cose su cui ho dubbi e su cui sono certamente daccordo con quello che dici.
Comunque (anche in vista dell'esame) io ho una dimostrazione che so esporre ed argomentare-commentare e nel dubbio introdurrò il fatto che questa forma sia chiusa come semplice osservazione non come passaggio necessario alla dimostarzione. Poi in questi giorni rileggerò meglio il libro e cercherò di capire meglio il suo approccio.
Però diciamo che per il momento posso pensare ad altro! (per esempio le distribuzioni!)
Grazie
Aggiungo qualche precisazione in base alla tua ultima risposta (dopo di che vai pure a studiare le distribuzioni)
a) Non volevo dire che non serve che la forma sia chiusa nell'economia del teorema - volevo dire che in quel punto non serve dirlo.
La catena di implicazioni e'
"$f$ olomorfa" $\Leftrightarrow$ condizioni di C.R. $\Leftrightarrow$ forma chiusa $\Leftrightarrow$ vale il teorema (applicando G.G alla forma e notando che l'integrale complesso di $f$ e' l'integrale della forma).
quindi il fatto che sia chiusa lo usi nell'ultimo passaggio per dire che l'integrale di volume (in Gauss-Green) fa zero.
Non ti serve da nessuna parte che la forma sia esatta.
b) il secondo punto dipende da come ti e' stato dato il teorema - io dico che $D$ potrebbe essere un anello $D={R_1<|z|
$\int_{\gamma_1}f(z) dz +\int_{gamma_2}f(z) dz =0$
dove $\gamma_1$ e' la circonferenza dir raggio $R_1$ percorsa in senso orario e $\gamma_2$ e' la circonferenza dir raggio $R_2$ percorsa in senso antiorario.
La dimostrazione e' identica se hai un Gauss-Green su $D$.
Questo caso piu' generale non e' tanto peregrino, visto che molto spesso si usa (ma ripeto che tutto dipende da come e' stata impostata la materia).
Pero' se l'integrale di partenza e' SU UNA SOLA CURVA, allora $D$ deve essere semplicemnete connesso e la forma deve essere esatta.
Ciao
a) Non volevo dire che non serve che la forma sia chiusa nell'economia del teorema - volevo dire che in quel punto non serve dirlo.
La catena di implicazioni e'
"$f$ olomorfa" $\Leftrightarrow$ condizioni di C.R. $\Leftrightarrow$ forma chiusa $\Leftrightarrow$ vale il teorema (applicando G.G alla forma e notando che l'integrale complesso di $f$ e' l'integrale della forma).
quindi il fatto che sia chiusa lo usi nell'ultimo passaggio per dire che l'integrale di volume (in Gauss-Green) fa zero.
Non ti serve da nessuna parte che la forma sia esatta.
b) il secondo punto dipende da come ti e' stato dato il teorema - io dico che $D$ potrebbe essere un anello $D={R_1<|z|
$\int_{\gamma_1}f(z) dz +\int_{gamma_2}f(z) dz =0$
dove $\gamma_1$ e' la circonferenza dir raggio $R_1$ percorsa in senso orario e $\gamma_2$ e' la circonferenza dir raggio $R_2$ percorsa in senso antiorario.
La dimostrazione e' identica se hai un Gauss-Green su $D$.
Questo caso piu' generale non e' tanto peregrino, visto che molto spesso si usa (ma ripeto che tutto dipende da come e' stata impostata la materia).
Pero' se l'integrale di partenza e' SU UNA SOLA CURVA, allora $D$ deve essere semplicemnete connesso e la forma deve essere esatta.
Ciao
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