Teorema integrale di Cauchy
salve vorrei chiedervi un chiarimento su questo teorema.
Non scirvo ipotesi tesi e dimostrazione perché credo sia una cosa abbastanza comune a tutti i corsi di analisi.
Io devo dimostrare questo teorema solo nel caso più semplice in cui le derivate parziali di f siano continue.
Con questa ipotesi aggiuntiva valgono le formule di Gauss Green. A questo punto tenendo presente la condizione di Cauchy-Riemann (con qualche incertezza) concludo che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ è nullo.
Questo è il passaggio incriminato:
il libro dice che l'integrale doppio esteso a D di $-X_y+Y_x$ è nullo; io ho capito perchè l'integrando è nullo, ma questo mi autorizza subito a dire che anche l'integrale è nullo?
Comunque il mio problema principale è che il mio libro e anche i miei appunti mi dicono che dal fatto che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ sia nullo posso ricavare banalmente la tesi (simpatico questo banalmente!
)
Grazie a chiunque mi darà una mano
PS: se questo teorema integrale di Cauchy fosse meno famoso di quello che credo io, fra qualche giorno in mancanza di risposte, posterò ipotesi tesi e dimostrazione in mdo da rendere il mio dubbio chiaro.
Non scirvo ipotesi tesi e dimostrazione perché credo sia una cosa abbastanza comune a tutti i corsi di analisi.
Io devo dimostrare questo teorema solo nel caso più semplice in cui le derivate parziali di f siano continue.
Con questa ipotesi aggiuntiva valgono le formule di Gauss Green. A questo punto tenendo presente la condizione di Cauchy-Riemann (con qualche incertezza) concludo che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ è nullo.
Questo è il passaggio incriminato:
il libro dice che l'integrale doppio esteso a D di $-X_y+Y_x$ è nullo; io ho capito perchè l'integrando è nullo, ma questo mi autorizza subito a dire che anche l'integrale è nullo?
Comunque il mio problema principale è che il mio libro e anche i miei appunti mi dicono che dal fatto che l'integrale esteso alla frontiera del mio dominio D di $Ydy+Xdx$ sia nullo posso ricavare banalmente la tesi (simpatico questo banalmente!
)Grazie a chiunque mi darà una mano
PS: se questo teorema integrale di Cauchy fosse meno famoso di quello che credo io, fra qualche giorno in mancanza di risposte, posterò ipotesi tesi e dimostrazione in mdo da rendere il mio dubbio chiaro.
Risposte
Allora per il punto b non ho problemi: cioè il teormea mi è stato presentato nella forma generale che dici tu. Infatti io lo uso per dire che l'integrale esteso a una circonferenza non dipende dal raggio. Ovvero integrale esteso a gamma 1 + integrale esteso a -gamma 2 uguale a zero.
Riguardo il punto a mi sa che allor adevo rivedermi un attimo la sequenza dei passaggi.
Dunque non ho ancora riguardato sul libro
quindi da questa frase che ho quotato mi sembra di interpretare che per applicare G.G. mi serve sapere che la forma è chiusa (ma dai miei ricordi dell'anno scorso non mi pare che fra le ipotesi del teorema di G.G. vi sia questa che la forma deve essere chiusa ma sarei felicissimo di sbagliarmi)
Riguardo il punto a mi sa che allor adevo rivedermi un attimo la sequenza dei passaggi.
Dunque non ho ancora riguardato sul libro
"f olomorfa" ⇔ condizioni di C.R. ⇔ forma chiusa ⇔ vale il teorema (applicando G.G alla forma e notando che l'integrale complesso di f e' l'integrale della forma).
quindi da questa frase che ho quotato mi sembra di interpretare che per applicare G.G. mi serve sapere che la forma è chiusa (ma dai miei ricordi dell'anno scorso non mi pare che fra le ipotesi del teorema di G.G. vi sia questa che la forma deve essere chiusa ma sarei felicissimo di sbagliarmi)
"Feliciano":
Allora per il punto b non ho problemi: cioè il teormea mi è stato presentato nella forma generale che dici tu. Infatti io lo uso per dire che l'integrale esteso a una circonferenza non dipende dal raggio. Ovvero integrale esteso a gamma 1 + integrale esteso a -gamma 2 uguale a zero.
Riguardo il punto a mi sa che allor adevo rivedermi un attimo la sequenza dei passaggi.
Dunque non ho ancora riguardato sul libro
"f olomorfa" ⇔ condizioni di C.R. ⇔ forma chiusa ⇔ vale il teorema (applicando G.G alla forma e notando che l'integrale complesso di f e' l'integrale della forma).
quindi da questa frase che ho quotato mi sembra di interpretare che per applicare G.G. mi serve sapere che la forma è chiusa (ma dai miei ricordi dell'anno scorso non mi pare che fra le ipotesi del teorema di G.G. vi sia questa che la forma deve essere chiusa ma sarei felicissimo di sbagliarmi)
Evidentemente mi sono spiegato male. Per usare G.G. NON ti serve sapere che la forma e' chiusa - il fatto che la forma e' chiusa di da' che l'integrando corrispondente al pezzo di volume e' nullo
(quindi l'integrale e' nullo e quindi l'integrale di linea e' nullo). Io volevo dire anzi che questo e' l'UNICO punto in cui si usa il fatto che la forma e' chiusa.
Nelle implicazioni che ho scritto il "teorema" e' il teroema di Cauchy, non G.G.
Riguardo al punto b), se il teorema ti e' stato dato in quella forma, allora devi capire la mia osservazione (dato che NON puoi dire che la forma e' esatta - ma non ti serve farlo) - Tutto il problema secondo me sta
nell avere un enunciato chiaro di G.G. e tenere presente che (nel caso generale) l'integrale di line e' fatto su piu' curve.
alla buona i passaggi dovrebbero essere
f olomorfa >>condizione di C.R.>>forma differenziale chiusa>>aggiugno derivate continue>>teorema di G.G.>>integrali di linea =integrali sul volume
Adesso il fatto che la forma sia chiusa mi dice che gli integrali sul volume sono nulli
L'integrale di f che è quindi nullo.
f olomorfa >>condizione di C.R.>>forma differenziale chiusa>>aggiugno derivate continue>>teorema di G.G.>>integrali di linea =integrali sul volume
Adesso il fatto che la forma sia chiusa mi dice che gli integrali sul volume sono nulli
L'integrale di f che è quindi nullo.
"Feliciano":
alla buona i passaggi dovrebbero essere
f olomorfa >>condizione di C.R.>>forma differenziale chiusa>>aggiugno derivate continue>>teorema di G.G.>>integrali di linea =integrali sul volume
Adesso il fatto che la forma sia chiusa mi dice che gli integrali sul volume sono nulli
L'integrale di f che è quindi nullo.
Infatti - quello che dicevo e' che la chiusura della forma serve SOLO ad avere che gli integrali di volume sono nulli.
(per esempio non serve a dire che la forma e' esatta - e NON SERVE sapere che la forma e' esatta)
okok
ho capito
ho capito
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo