Teorema integrabilità funzioni continue

[Marshal87]

Ciao a tutti
Dovrei dimostrare il teorema della integrabilità funzioni continue ovvero dimostrare che data una $f(x)$ continua in un intervallo chiuso e limitato, la funzione è integrabile.

Sn arrivato a dire che $S(P)-s(P) = sum_(k=1)^n (M_k-m_k)(X_k-X_(k-1))<(epsilon/(b-a))sum_(k=1)^n(X_k-X_(k-1)) = epsilon$

Ma adesso non so più come continuare...
credo che dovrei arrivare a dire che $S(P)=s(P)$ giusto?
Grazie mille !

[dissonance]

se con $S(P)$, $s(P)$ vuoi dire le somme superiori e inferiori relative alla partizione $P$, guarda che hai già finito!

[Marshal87]

"dissonance":se con $S(P)$, $s(P)$ vuoi dire le somme superiori e inferiori relative alla partizione $P$, guarda che hai già finito!

Si scusami, $S(P)$, $s(P)$ sn le somme integrali superiori ed inferiori di P e $b-a$ sono gli estremi dell'intervallo.
Umh...e scusa perchè ho finito adesso?
Il fatto che $S(P)-s(P) .... = epsilon$ io addirittura pensavo fosse sbagliato...nn dovrebbe venire $=0$?

[dissonance]

ma no... in generale tu sai che ${S(P)|P\ text(partizione di) [a,b]}$ e ${s(P)|P ldots}$ sono classi separate, ovvero che ogni elemento della prima è $>=$ di ogni elemento dell'altra. Vuoi dimostrare che sono contigue, quindi che $text(inf){S(P)}=text(sup){s(P)}$. Nota che stiamo parlando di inf e sup, non di min e max... Se non mi sono spiegato dimmelo.

[Nikilist]

Attento, non è $=\epsilon$, bensì $<\epsilon$ che hai ottenuto, qualunque sia l'epsilon che tu scelga...

[Marshal87]

"Nikilist":Attento, non è $=\epsilon$, bensì $<\epsilon$ che hai ottenuto, qualunque sia l'epsilon che tu scelga...

Scusate se rispondo solo adesso ma nn ci sono proprio stato a casa...
Beh se è $<\epsilon$ è più chiara come cosa...ma controllando sul libro mio di analisi, c'è sempre $=epsilon$ ...quindi per cio nn mi spiego proprio

"dissonance":
ma no... in generale tu sai che {S(P)|P partizione di[a,b]} e {s(P)|P...} sono classi separate, ovvero che ogni elemento della prima è ≥ di ogni elemento dell'altra. Vuoi dimostrare che sono contigue, quindi che inf{S(P)}=sup{s(P)}. Nota che stiamo parlando di inf e sup, non di min e max... Se non mi sono spiegato dimmelo.

Si scusami ma purtoppo non ho capito
Io voglio dimostrare che sono contigue certo, ma adesso così sn già contigue??Perchè?

Grazie siete davvero molto gentili

[Fioravante Patrone1]

"Marshal87":
Beh se è $<\epsilon$ è più chiara come cosa...ma controllando sul libro mio di analisi, c'è sempre $=epsilon$ ...quindi per cio nn mi spiego proprio

NON puo' esserci $=epsilon$.
Pensa alla funzione identicamente nulla.
Tutte le sue somme inferiori e superiori, associate a qualunque partizione, sono uguali (a zero, ma questo non e' importante). E quindi la loro differenza e' sempre zero.
E, quindi, fissato $epsilon$ positivo sara' difficile che venga un uguale.

D'altronde, e' il $< epsilon$ che serve, per provare che sono contigue.

[Marshal87]

NON puo' esserci $=epsilon$.
Pensa alla funzione identicamente nulla.
Tutte le sue somme inferiori e superiori, associate a qualunque partizione, sono uguali (a zero, ma questo non e' importante). E quindi la loro differenza e' sempre zero.
E, quindi, fissato $epsilon$ positivo sara' difficile che venga un uguale.

D'altronde, e' il $< epsilon$ che serve, per provare che sono contigue.[/quote]

Quindi semplicemente c'è un errore nel libro e al posto di

$S(P)-s(P) = sum_(k=1)^n (M_k-m_k)(X_k-X_(k-1))<(epsilon/(b-a))sum_(k=1)^n(X_k-X_(k-1)) = epsilon$

posso scrivere


$S(P)-s(P) = sum_(k=1)^n (M_k-m_k)(X_k-X_(k-1))<(epsilon/(b-a))sum_(k=1)^n(X_k-X_(k-1)) < epsilon$

e quindi $S(P)-s(P) = 0$ ?

[dissonance]

guarda che se dici $S(P) - s(P)=(text(qualcosa))<(text(qualcos'altro))=epsilon$ non stai dicendo $S(P)-s(P)=epsilon$, ma $S(P)-s(P)

Cita

Segnala

[Marshal87]

"dissonance":guarda che se dici $S(P) - s(P)=(text(qualcosa))<(text(qualcos'altro))=epsilon$ non stai dicendo $S(P)-s(P)=epsilon$, ma $S(P)-s(P)
Oddio che caos...
Ma quindi quell $=epsilon$ è riferito al "qualcos'altro" ?

[Martino]

"Marshal87":[quote="dissonance"]guarda che se dici $S(P) - s(P)=(text(qualcosa))<(text(qualcos'altro))=epsilon$ non stai dicendo $S(P)-s(P)=epsilon$, ma $S(P)-s(P)
Oddio che caos...
Ma quindi quell $=epsilon$ è riferito al "qualcos'altro" ?[/quote]

Marshal, secondo te da $5=5<7=7$ posso dedurre $5=7$?

[Marshal87]

"Martino":[quote="Marshal87"][quote="dissonance"]guarda che se dici $S(P) - s(P)=(text(qualcosa))<(text(qualcos'altro))=epsilon$ non stai dicendo $S(P)-s(P)=epsilon$, ma $S(P)-s(P)
Oddio che caos...
Ma quindi quell $=epsilon$ è riferito al "qualcos'altro" ?[/quote]

Marshal, secondo te da $5=5<7=7$ posso dedurre $5=7$? [/quote]

Hehehehehe no ma allora che mi frega che $(epsilon/(b-a))sum_(k=1)^n(X_k-X_(k-1)) = epsilon$ ??
ehehehehe mi sto appassionando sempre di più alla matematica ma è davvero un gran caos....

[Martino]

Come che ti frega? Ti serve per dimostrare che $S(P)-s(P)
Quello che tu provi con la catena di uguaglianze/disuguaglianze

$S(P) - s(P)=(text(qualcosa))<(text(qualcos'altro))=epsilon$

è che

$S(P) - s(P) < epsilon$ (<--- questo è quello che hai dimostrato)

Poiché cio' vale per ogni $epsilon>0$, ora applichi qualche proprietà di sup e inf e deduci che $s=\text{sup}_P s(P) = \text{inf}_P S(P) = S$.

[Marshal87]

"Martino":Come che ti frega? Ti serve per dimostrare che $S(P)-s(P)
Quello che tu provi con la catena di uguaglianze/disuguaglianze

$S(P) - s(P)=(text(qualcosa))<(text(qualcos'altro))=epsilon$

è che

$S(P) - s(P) < epsilon$ (<--- questo è quello che hai dimostrato)

Poiché cio' vale per ogni $epsilon>0$, ora applichi qualche proprietà di sup e inf e deduci che $s=\text{sup}_P s(P) = \text{inf}_P S(P) = S$.

Ok grazie davvero adesso è chiarissimo...
e quindi che $s(P) = S(P)$ e quindi la funz è integrabile secondo Riemann
Adesso ho capito perchè mi dicevano che avevo finito...
hehehe

[Martino]

"Marshal87":$s(P) = S(P)$ e quindi la funz è integrabile secondo Riemann

Non è vero che $s(P)=S(P)$... quello che è vero è che $text(sup)_P s(P) = text(inf)_P S(P)$.

[Marshal87]

"Martino":[quote="Marshal87"]$s(P) = S(P)$ e quindi la funz è integrabile secondo Riemann

Non è vero che $s(P)=S(P)$... quello che è vero è che $text(sup)_P s(P) = text(inf)_P S(P)$.[/quote]

Ah si si stavo controllando proprio adesso che avevo detto una scemenza.
Grazie

[FainaGimmi]

Chiedo innanzitutto scusa per aver ritirato fuori un vecchi post di più di un anno fa, ma avrei una domanda: in base a quale criterio (o ragionamento) si afferma che $\sum_{k=1}^n (M_k - m_k) < (\epsilon/(b-a))$ ?

Grazie!!