Teorema Gauss-Green e divergenza

[manu911]

salve,
avrei un quesito che non sono riuscito a risolvere, è una domanda che ho trovato in vecchi compiti di analisi del mio prof:
applicare il teorema di Gauss-Green per dimostrare il teorema di Gauss sulla divergenza in dimensione 2

mi potete dare una mano?
non so proprio come procedere
i teoremi li so ma non so come procedere
grazie mille

[ciampax]

Scusa, solo per evitare di scrivere cose con notazioni troppo discordanti: in che modo scrivi le "formule" dei due teoremi che citi? Così evitiamo di dover modificare troppa roba.

[manu911]

per Gauss-Green uso questa: $\int int_D (delF_2)/(delx)-(delF_1)/(dely) dxdy = \int_(delta^+D) F*T ds$ (quest'ultimo integrale curvilineo)
per il teorema di Gauss sulla divergenza invece: $\ int int int_E div F dxdydz= int int_(delta E) F*N_e d sigma$
$N_e$ è la normale esterna

[ciampax]

Ma il teorema di Gauss che devi usare non è quello in dimensione 2, cioè questo:
$\int\int_D (\frac{\partial G_1}{\partial x}+\frac{\partial G_2}{\partial y})\ dx\ dy=\int_{\partial D} G\cdot N\ ds$

dove $G=(G_1,G_2)$??

[manu911]

ho sbagliato a scrivere la seconda formula ho messo un integrale in piu in Gauss mi sa
ma nella formula che hai scritto tu non ci va il $-$ ?

[ciampax]

La divergenza di un campo e la somma delle derivate delle componenti, quindi ci va il $+$. Io ho riscritto la tua seconda formula, non la prima (che è corretta). Ora, per dimostrare che si equivalgono, prova a porre $G_1=F_1,\ G_2=-F_2$ e vedi cosa ne viene fuori. Ti servirà capire anche una cosa fondamentale, è cioè questa: se una curva del piano (in questo caso il bordo del dominio $D$) ha rappresentazione data da $r(s)=(x(s),y(s))$ come vanno rappresentate, rispettivamente, la tangente e la normale alla curva? Sta tutto qui.