Teorema Gauss-Green applicazione
salve avrei un dubbio su un esercizio dove bisogna usare il teorema di Gauss Green:
"sfruttando la formula di Gauss Green calcolare il seguente integrale
$int int_(Sigma) ydxdy$ dove $Sigma={(x,y) 1<=x^2+y^2<=4}$"
correggetemi se sbaglio: io devo calcolare l'integrale curvilineo parametrizzando $Sigma$ con $(r*cos(sigma), r*sen(sigma))$:
$\int_{0}^{2pi} int_{1}^{2} r*sen(sigma) drdsigma$
giusto? oppure c'e qualche altro procedimento?
"sfruttando la formula di Gauss Green calcolare il seguente integrale
$int int_(Sigma) ydxdy$ dove $Sigma={(x,y) 1<=x^2+y^2<=4}$"
correggetemi se sbaglio: io devo calcolare l'integrale curvilineo parametrizzando $Sigma$ con $(r*cos(sigma), r*sen(sigma))$:
$\int_{0}^{2pi} int_{1}^{2} r*sen(sigma) drdsigma$
giusto? oppure c'e qualche altro procedimento?
Risposte
$\Sigma$ è una superficie: quello che stai facendo è semplicemente fare un cambiamento di variabile in un integrale doppio. Il teorema richiesto invece è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... Il_teorema il quale passa attraverso il calcolo di un integrale curvilineo.
mi sa che non ho capito come dovrei svolgere l'esercizio... potresti spiegarmelo un po'?
$ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2Pi ) rsinsigma (r) dsigma $
Hai dimenticato di includere lo Jacobiano, che è il contributo della trasformazione a coordinate polari che fai.
Hai dimenticato di includere lo Jacobiano, che è il contributo della trasformazione a coordinate polari che fai.
r^2 ovviamente lo puoi portare a sinistra, nell'integrale in dr
Ps:sai come si calcola lo jacobiano?
Ps:sai come si calcola lo jacobiano?
@diavolofurioso: continui a risolverlo come un integrale con cambiamento di variabile, non come richiede l'esercizio!
@manu: allora, bisogna procedere così. Per prima cosa, osserva che $\Sigma$ è una corona circolare, pertanto il suo bordo consiste delle due circonferenze centrate nell'origine di raggi rispettivi 1 e 2: in particolare possiamo scrivere $\partial\Sigma=+C_2\cup -C_1$ avendo indicato con $C_k$ le due circonferenze e usando $+$ per indicare la circonferenza percorsa in senso antiorario, $-$ per quella in senso orario.
Ora, dobbiamo scegliere due funzioni, $f,g$, di modo che si possa scrivere l'enunciato del teorema. Poiché nell'integrale doppio compare la funzione $F(x,y)=y$, una scelta intelligente (ma ce ne sono miliardi da poter fare) è la seguente:
$$f(x,y)=0,\qquad g(x,y)=xy$$
In questo modo abbiamo
$$\int_\Sigma y\ dx\ dy=\int_{\partial\Sigma} xy\ dx$$
(puoi verificarlo sostituendo, nella formula, le funzioni che ho scelto io). A questo punto si tratta di calcolare l'integrale curvilineo a secondo membro. Per prima cosa, osserva che
$$\int_{\partial\Sigma} xy\ dx=\int_{+C_2\cup -C_1} xy\ dx=\int_{C_2} xy\ dx-\int_{C_1} xy\ dx$$
Inoltre, parametrizzando come
$$C_1:\ x=\cos t,\ y=\sin t$$
$$C_2:\ x=2\cos t,\ y=2\sin t$$
con $T\in[0,2\pi]$ in entrambi i casi, otteniamo
$$\int_{C_2} xy\ dx-\int_{C_1} xy\ dx=\int_0^{2\pi} 4\sin t\ \cos t\ dt-\int_0^{2\pi} \sin t\ \cos t\ dt=$$
$$=3\int_0^{2\pi}\sin t\ \cos t\ dt=\frac{3}{2}\int_0^{2\pi}\sin(2t)\ dt=-\frac{3}{4}\left[\cos(2t)\right]_0^{2\pi}=0$$
@manu: allora, bisogna procedere così. Per prima cosa, osserva che $\Sigma$ è una corona circolare, pertanto il suo bordo consiste delle due circonferenze centrate nell'origine di raggi rispettivi 1 e 2: in particolare possiamo scrivere $\partial\Sigma=+C_2\cup -C_1$ avendo indicato con $C_k$ le due circonferenze e usando $+$ per indicare la circonferenza percorsa in senso antiorario, $-$ per quella in senso orario.
Ora, dobbiamo scegliere due funzioni, $f,g$, di modo che si possa scrivere l'enunciato del teorema. Poiché nell'integrale doppio compare la funzione $F(x,y)=y$, una scelta intelligente (ma ce ne sono miliardi da poter fare) è la seguente:
$$f(x,y)=0,\qquad g(x,y)=xy$$
In questo modo abbiamo
$$\int_\Sigma y\ dx\ dy=\int_{\partial\Sigma} xy\ dx$$
(puoi verificarlo sostituendo, nella formula, le funzioni che ho scelto io). A questo punto si tratta di calcolare l'integrale curvilineo a secondo membro. Per prima cosa, osserva che
$$\int_{\partial\Sigma} xy\ dx=\int_{+C_2\cup -C_1} xy\ dx=\int_{C_2} xy\ dx-\int_{C_1} xy\ dx$$
Inoltre, parametrizzando come
$$C_1:\ x=\cos t,\ y=\sin t$$
$$C_2:\ x=2\cos t,\ y=2\sin t$$
con $T\in[0,2\pi]$ in entrambi i casi, otteniamo
$$\int_{C_2} xy\ dx-\int_{C_1} xy\ dx=\int_0^{2\pi} 4\sin t\ \cos t\ dt-\int_0^{2\pi} \sin t\ \cos t\ dt=$$
$$=3\int_0^{2\pi}\sin t\ \cos t\ dt=\frac{3}{2}\int_0^{2\pi}\sin(2t)\ dt=-\frac{3}{4}\left[\cos(2t)\right]_0^{2\pi}=0$$
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