Teorema funzioni lineari e continue
Ad analisi sulle mie dispense c'è un teorema che dice: "Siano X ed Y due spazi vettoriali su campo K, e sia $L: X ->Y$ una applicazione lineare. Allora sono equivalenti i seguenti fatti:
1) L è continua su tutto X
2) L è continua in 0
3) L è limitatìa sui sottoinsiemi limitati di X
4) L è lipschitziana
Io volevo un esempio di funzione lineare non continua. Ci penso ma non mi viene a mente...
1) L è continua su tutto X
2) L è continua in 0
3) L è limitatìa sui sottoinsiemi limitati di X
4) L è lipschitziana
Io volevo un esempio di funzione lineare non continua. Ci penso ma non mi viene a mente...
Risposte
Nota: Per parlare di limitatezza e lipschitzianità devi avere sotto mano una metrica (o una norma); quindi suppongo che i tuoi spazi vettoriali siano in realtà spazi vettoriali normati.
La "derivata dei polinomi" è lineare e non continua...
Detta in maniera decente, prendi lo spazio delle successioni definitivamente nulle [tex]$c_{00}$[/tex]:
[tex]$x=(x^n)\in c_{00} \quad \Leftrightarrow \quad \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ x^n=0$[/tex]
(qui e nel resto [tex]$\mathbb{N} =\{ 0,1,2,\ldots \}$[/tex]; insomma [tex]$0\in \mathbb{N}$[/tex]) e mettici sopra la norma del massimo [tex]$\lVert\cdot \rVert_\infty$[/tex]:
[tex]$\forall x=(x^n)\in c_{00},\quad \lVert x\rVert_\infty =\max_{n\in \mathbb{N}} |x^n|$[/tex].
Lo spazio [tex]$(c_{00},\lVert\cdot \rVert_\infty)$[/tex] è vettoriale normato, quindi esso è vettoriale topologico con la topologia indotta dalla norma del massimo.
Per ogni [tex]$x=(x^n)\in c_{00}$[/tex], poni:
[tex]$Dx:=((n+1)\ x^{n+1})=(x^1,2\ x^2,3\ x^3,\ldots ,n\ x^n,\ldots)$[/tex];
l'operatore [tex]$D$[/tex] manda [tex]$c_{00}$[/tex] in sé ed è lineare.
Però esso non è limitato: infatti prendi la successione [tex]$e_m=(\delta_m^n)$[/tex] (qui [tex]$m\in \mathbb{N} \setminus \{ 0\}$[/tex] e [tex]$\delta_m^n$[/tex] è di Kronecker) e vedi che:
[tex]$De_m=m\ e_{m-1}$[/tex]
quindi [tex]$\lVert De_m\rVert_\infty =m$[/tex]; poiché gli [tex]$e_m$[/tex] sono tutti contenuti nella palla [tex]$B(o;2)=\{ x\in c_{00}:\ \lVert x\rVert_\infty <2\}$[/tex] (che è evidentemente limitata), hai:
[tex]$\sup_{x\in B(o;2)} \lVert Dx\rVert_\infty \geq \sup_{m\in \mathbb{N}} \lVert De_m\rVert_\infty =+\infty$[/tex],
cosicché [tex]$D$[/tex] non è limitata su [tex]$B(o;2)$[/tex].
In virtù del teorema da te citato, [tex]$D$[/tex] non è nemmeno continua.
La "derivata dei polinomi" è lineare e non continua...
Detta in maniera decente, prendi lo spazio delle successioni definitivamente nulle [tex]$c_{00}$[/tex]:
[tex]$x=(x^n)\in c_{00} \quad \Leftrightarrow \quad \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ x^n=0$[/tex]
(qui e nel resto [tex]$\mathbb{N} =\{ 0,1,2,\ldots \}$[/tex]; insomma [tex]$0\in \mathbb{N}$[/tex]) e mettici sopra la norma del massimo [tex]$\lVert\cdot \rVert_\infty$[/tex]:
[tex]$\forall x=(x^n)\in c_{00},\quad \lVert x\rVert_\infty =\max_{n\in \mathbb{N}} |x^n|$[/tex].
Lo spazio [tex]$(c_{00},\lVert\cdot \rVert_\infty)$[/tex] è vettoriale normato, quindi esso è vettoriale topologico con la topologia indotta dalla norma del massimo.
Per ogni [tex]$x=(x^n)\in c_{00}$[/tex], poni:
[tex]$Dx:=((n+1)\ x^{n+1})=(x^1,2\ x^2,3\ x^3,\ldots ,n\ x^n,\ldots)$[/tex];
l'operatore [tex]$D$[/tex] manda [tex]$c_{00}$[/tex] in sé ed è lineare.
Però esso non è limitato: infatti prendi la successione [tex]$e_m=(\delta_m^n)$[/tex] (qui [tex]$m\in \mathbb{N} \setminus \{ 0\}$[/tex] e [tex]$\delta_m^n$[/tex] è di Kronecker) e vedi che:
[tex]$De_m=m\ e_{m-1}$[/tex]
quindi [tex]$\lVert De_m\rVert_\infty =m$[/tex]; poiché gli [tex]$e_m$[/tex] sono tutti contenuti nella palla [tex]$B(o;2)=\{ x\in c_{00}:\ \lVert x\rVert_\infty <2\}$[/tex] (che è evidentemente limitata), hai:
[tex]$\sup_{x\in B(o;2)} \lVert Dx\rVert_\infty \geq \sup_{m\in \mathbb{N}} \lVert De_m\rVert_\infty =+\infty$[/tex],
cosicché [tex]$D$[/tex] non è limitata su [tex]$B(o;2)$[/tex].
In virtù del teorema da te citato, [tex]$D$[/tex] non è nemmeno continua.
Esiste un analogo con spazi vettoriali normati finitamente generati?
No.
Dovresti sapere dal corso di Algebra Lineare (o Geometria I) che ogni applicazione lineare [tex]$T:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^M$[/tex], fissate due basi, si rappresenta con una matrice [tex]$A$[/tex] di dimensioni [tex]$M\times N$[/tex]; insomma:
[tex]$Tx= A\cdot \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^N \end{pmatrix}$[/tex].
Ed è facile rendersi conto che ogni applicazione matriciale è limitata (grossomodo, basta applicare il teorema di Weierstrass ad ogni componente).
Lo stesso vale per spazi qualunque di dimensione finita, giacché essi sono isomorfi a qualche [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex] (o, se sono complessi, a qualche [tex]$\mathbb{C}^d$[/tex]... Ma ovviamente non cambia nulla) e le norme su [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex] sono tutte equivalenti.
Dovresti sapere dal corso di Algebra Lineare (o Geometria I) che ogni applicazione lineare [tex]$T:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^M$[/tex], fissate due basi, si rappresenta con una matrice [tex]$A$[/tex] di dimensioni [tex]$M\times N$[/tex]; insomma:
[tex]$Tx= A\cdot \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^N \end{pmatrix}$[/tex].
Ed è facile rendersi conto che ogni applicazione matriciale è limitata (grossomodo, basta applicare il teorema di Weierstrass ad ogni componente).
Lo stesso vale per spazi qualunque di dimensione finita, giacché essi sono isomorfi a qualche [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex] (o, se sono complessi, a qualche [tex]$\mathbb{C}^d$[/tex]... Ma ovviamente non cambia nulla) e le norme su [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex] sono tutte equivalenti.
Oh, infatti. Ecco perché non riuscivo a capire, perché scrivevo le applicazioni come matrici $mxn$ e, appunto scrivendole in componenti, mi venivano chiaramente solo applicazioni continue. Quindi bisogna passare a spazi vettoriali di dimensione infinita. Va bene, ti ringrazio. Perché sulle dispense dove studio ci sono tanti teoremi ma non fa mai vedere esempi dove i teoremi non sono applicabili e siccome sono curioso mi garba guardarli da me, ma a volte non mi tornano!
Ma che studi?
Analisi Funzionale?
Analisi Funzionale?
Calcolo differenziale in più variabili,fino al teorema di Dini e dei moltiplicatori di Lagrange, più integrazione secondo Lebesgue (bada bene, sono un fisico, non so quanto serva imparare tutta la questione delle misure) più curve, lavoro e campi. Insomma, analisi 3.
La domanda che ti ho posto è venuta dalla definizione di differenziale riportata sul libro del mio professore: Siano $X$ ed $X_1$ spazi normati su R, prendiamo un aperto A in X e un'applicazione dall'aperto in $X_1$ Diciamo che f è differenziabile nel punto u di A se esiste una applicazione lineare e continua di $X$ in $X_1$ tale che ....
al che quel "lineare e continua" mi ha insospettito, anche perché subito dopo dice di trattare spazi di dimensione finita per chiarezza didattica e semplicità, quindi mi era sfuggito.
La domanda che ti ho posto è venuta dalla definizione di differenziale riportata sul libro del mio professore: Siano $X$ ed $X_1$ spazi normati su R, prendiamo un aperto A in X e un'applicazione dall'aperto in $X_1$ Diciamo che f è differenziabile nel punto u di A se esiste una applicazione lineare e continua di $X$ in $X_1$ tale che ....
al che quel "lineare e continua" mi ha insospettito, anche perché subito dopo dice di trattare spazi di dimensione finita per chiarezza didattica e semplicità, quindi mi era sfuggito.
Insomma, il vecchio Analisi II.
E a che ti serve sta robaccia di spazi normati?
Ad introdurre l'integrale di Lebesgue come funzionale lineare oppure a qualche versione astratta del Teorema del Dini?
P.S.: Se non studi l'integrale di Lebesgue, lo spazio [tex]$L^2$[/tex] (che è importantissimo per voi fisici) come lo introduci in concreto?
E a che ti serve sta robaccia di spazi normati?
Ad introdurre l'integrale di Lebesgue come funzionale lineare oppure a qualche versione astratta del Teorema del Dini?
P.S.: Se non studi l'integrale di Lebesgue, lo spazio [tex]$L^2$[/tex] (che è importantissimo per voi fisici) come lo introduci in concreto?
"gugo82":
No.
Dovresti sapere dal corso di Algebra Lineare (o Geometria I) che ogni applicazione lineare [tex]$T:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^M$[/tex], fissate due basi, si rappresenta con una matrice [tex]$A$[/tex] di dimensioni [tex]$M\times N$[/tex]; insomma:
[tex]$Tx= A\cdot \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^N \end{pmatrix}$[/tex].
Ed è facile rendersi conto che ogni applicazione matriciale è limitata (grossomodo, basta applicare il teorema di Weierstrass ad ogni componente).
Gugo, scusa il disturbo, ma non è che potresti spendere qualche parolina in più su questo fatto per piacere? Che cosa intendi precisamente con "applicare Weierstrass ad ogni componente"? La cosa mi incuriosisce parecchio, probabilmente non è nulla di strano però mi sembra interessante...
Grazie mille per la tua pazienza.
È vero, non si può introdurre lo spazio $L^2$ senza Lebesgue, ma io mi riferivo al fatto che prima di studiare la misura di Lebesgue abbiamo studiato quella canonica e quella di Peano, e subito dopo quella di Hausdorf. Non so quanto sarà utile tutta questa parte, visto che il corso è durato 3 mesi, e lo studio di queste 3 misure ci ha portato via una settimana buona...
Tutto questo studio di spazi normati è stato voluto dal professore per non indurci a credere che esista solo $RR^n$ in primis, e poi per dare il teorema di Dini in versione il più generale possibile.
Tutto questo studio di spazi normati è stato voluto dal professore per non indurci a credere che esista solo $RR^n$ in primis, e poi per dare il teorema di Dini in versione il più generale possibile.
@Paolo: La componente [tex]$m$[/tex]-esima di [tex]$Tx$[/tex] è data da:
[tex]$y^m= \begin{pmatrix} a_1^m &\cdots & a_N^m\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^N\end{pmatrix} =\sum_{i=1}^N a_i^m\ x^i$[/tex];
se sei su un limitato [tex]$E\subseteq \mathbb{R}^N$[/tex], la chiusura [tex]$\overline{E}$[/tex] è compatta e per Weierstrass puoi trovare un numero abbastanza grande [tex]$L_m\geq 0$[/tex] tale che [tex]$|y^m|\leq L_m$[/tex] per [tex]$x\in \overline{E}$[/tex].
Ne viene che per [tex]$x\in E \subseteq \overline{E}$[/tex]:
[tex]$\lVert Tx\rVert_1 =\sum_{i=1}^M |y^m| \leq \sum_{i=1}^M L_m =:L$[/tex]
e perciò [tex]$T$[/tex] è limitato in norma [tex]$1$[/tex]. Visto che però tutte le norme su [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex] sono di fatto equivalenti (se non ricordo male ciò discende dal Teorema dell'applicazione aperta), [tex]$T$[/tex] è limitato anche in qualsiasi altra norma si scelga nel dominio e nel codominio.
@Zkeggia: Per la misura di Peano e quella di Lebesgua ok, ne capisco l'utilità... Però le misure di Hausdorff mi sembra un po' troppo (a patto che tu intenda effettivamente questa misura e non qualche altra cosa).
D'altra parte mi chiedo a cosa serva fare solo una settimana (cioè 7 ore, se non sbaglio) di corso su queste questioni... Mi sembrano pochine.
[tex]$y^m= \begin{pmatrix} a_1^m &\cdots & a_N^m\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^N\end{pmatrix} =\sum_{i=1}^N a_i^m\ x^i$[/tex];
se sei su un limitato [tex]$E\subseteq \mathbb{R}^N$[/tex], la chiusura [tex]$\overline{E}$[/tex] è compatta e per Weierstrass puoi trovare un numero abbastanza grande [tex]$L_m\geq 0$[/tex] tale che [tex]$|y^m|\leq L_m$[/tex] per [tex]$x\in \overline{E}$[/tex].
Ne viene che per [tex]$x\in E \subseteq \overline{E}$[/tex]:
[tex]$\lVert Tx\rVert_1 =\sum_{i=1}^M |y^m| \leq \sum_{i=1}^M L_m =:L$[/tex]
e perciò [tex]$T$[/tex] è limitato in norma [tex]$1$[/tex]. Visto che però tutte le norme su [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex] sono di fatto equivalenti (se non ricordo male ciò discende dal Teorema dell'applicazione aperta), [tex]$T$[/tex] è limitato anche in qualsiasi altra norma si scelga nel dominio e nel codominio.
@Zkeggia: Per la misura di Peano e quella di Lebesgua ok, ne capisco l'utilità... Però le misure di Hausdorff mi sembra un po' troppo (a patto che tu intenda effettivamente questa misura e non qualche altra cosa).
D'altra parte mi chiedo a cosa serva fare solo una settimana (cioè 7 ore, se non sbaglio) di corso su queste questioni... Mi sembrano pochine.
Grazie Gugo. Credo di aver afferrato in linea generale quanto dici (non so esattamente che cosa si intende con norme equivalenti, ma non importa, ho capito il succo "analitico" della questione che era quello che più mi interessava).
Ti ringrazio per avermi illuminato.
Ti ringrazio per avermi illuminato.
La misura è proprio quella, la cosa che fa un po' ridere è che l'abbiamo introdotta e abbiamo enunciato il teorema della divergenza... senza dimostrarlo! Quindi alla fine è stata totalmente inutile. Inoltre abbiamo perso tempo una settimana, sottraendolo magari a qualche approfondimento più utile. Siccome ogni anno il corso di analisi 3 cambia professore da noi, o meglio, ci sono due professori che si alternano gli anni, so che quelli dell'anno prima di noi avevano fatto meno approfondimenti, però intanto avevano introdotto le varietà, cosa che non è poco, visto che a noi ci parlano di varietà ma nessuno si prende la briga di spiegarcele!
C'è da dire che una settimana è stata presa da Hausdorff + Peano + un pezzo di Lebesgue, che poi abbiamo continuato per un'altra settimana.
C'è da dire che una settimana è stata presa da Hausdorff + Peano + un pezzo di Lebesgue, che poi abbiamo continuato per un'altra settimana.
@Paolo: Dire che due norme [tex]$\lVert \cdot \rVert, |\cdot |$[/tex] su un medesimo sp. vett. [tex]$X$[/tex] sono equivalenti, significa dire che esse inducono la stessa topologia (in termini geometrici) o che sussistono due disuguaglianze:
[tex]$\forall x\in X,\quad \alpha\ \lVert x\rVert \leq |x|\leq \beta\ \lVert x\rVert$[/tex]
con [tex]$\alpha,\beta > 0$[/tex] opportuni (in termini analitici).
@Zkeggia: Eh... Guarda che l'enunciato generale del teorema della divergenza è difficile da dimostrare; se l'hanno tralasciato c'è un buon motivo.
D'altra parte, il teorema della divergenza è uno dei fondamentali nelle PDE, quindi deve potersi applicare nel maggior numero di casi possibile: quando il bordo dell'insieme è regolare, tutto a posto e si applica la versione classica; ma quando il bordo non è regolare devi per forza usare la versione generale con la misura di Hausdorff.
Per questo il prof. ci ha tenuto quanto meno a segnalarvelo.
[tex]$\forall x\in X,\quad \alpha\ \lVert x\rVert \leq |x|\leq \beta\ \lVert x\rVert$[/tex]
con [tex]$\alpha,\beta > 0$[/tex] opportuni (in termini analitici).
@Zkeggia: Eh... Guarda che l'enunciato generale del teorema della divergenza è difficile da dimostrare; se l'hanno tralasciato c'è un buon motivo.
D'altra parte, il teorema della divergenza è uno dei fondamentali nelle PDE, quindi deve potersi applicare nel maggior numero di casi possibile: quando il bordo dell'insieme è regolare, tutto a posto e si applica la versione classica; ma quando il bordo non è regolare devi per forza usare la versione generale con la misura di Hausdorff.
Per questo il prof. ci ha tenuto quanto meno a segnalarvelo.
"gugo82":
@Paolo: Dire che due norme [tex]$\lVert \cdot \rVert, |\cdot |$[/tex] su un medesimo sp. vett. [tex]$X$[/tex] sono equivalenti, significa dire che esse inducono la stessa topologia (in termini geometrici) o che sussistono due disuguaglianze:
[tex]$\forall x\in X,\quad \alpha\ \lVert x\rVert \leq |x|\leq \beta\ \lVert x\rVert$[/tex]
con [tex]$\alpha,\beta > 0$[/tex] opportuni (in termini analitici).
Ok, grazie. Ora è più chiaro. GRAZIE ancora per il tuo intervento.
@Paolo: Ogni tanto dimentico che sei ancora al primo anno! 
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