Teorema funzione monotòna
Devo dimostrare il seguente teorema:
Sia una funzione f: X in R monotòna, se f(X) è un intervallo allora f è continua.
Allora considero limite destro e limito sinistro:
$ lim_(x -> x_0^+) f(x) = $inf$ f(X) = l^+ $
$ lim_(x -> x_0^-) f(x) = $sup$ f(X) = l^- $
Poichè la funzione monotòna (per ipotesi supponiamo crescente) allora:
$ l^(-) <= f(x_0) <= l^(+) $
A questo punto per dimostrare che è continua devo dimostrare che vale $l^(-) = l^(+) $???
Sia una funzione f: X in R monotòna, se f(X) è un intervallo allora f è continua.
Allora considero limite destro e limito sinistro:
$ lim_(x -> x_0^+) f(x) = $inf$ f(X) = l^+ $
$ lim_(x -> x_0^-) f(x) = $sup$ f(X) = l^- $
Poichè la funzione monotòna (per ipotesi supponiamo crescente) allora:
$ l^(-) <= f(x_0) <= l^(+) $
A questo punto per dimostrare che è continua devo dimostrare che vale $l^(-) = l^(+) $???
Risposte
Ciao 
Intanto quando hai scritto inf e sup dovresti specificare l'insieme dove li consideri:
[tex]$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \inf \{ f(x) : x \in X, x>x_0 \} = l^+ $[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in X, x
Tornando alla domanda:
Ti basta dimostrare che $ l^(-) = f(x_0) $ e che $ f(x_0) = l^(+) $.
Supponi per assurdo che $ l^(-) < f(x_0) $ e cerca di arrivare a dimostrare che l'immagine non è più un intervallo sfruttando la monotonia della funzione e l'uguaglianza [tex]$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in X, x
Dimmi se è tutto ok.
Intanto quando hai scritto inf e sup dovresti specificare l'insieme dove li consideri:
[tex]$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \inf \{ f(x) : x \in X, x>x_0 \} = l^+ $[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in X, x
Tornando alla domanda:
"Cloudy":
Poichè la funzione monotòna (per ipotesi supponiamo crescente) allora:
$ l^(-) <= f(x_0) <= l^(+) $
A questo punto per dimostrare che è continua devo dimostrare che vale $l^(-) = l^(+) $???
Ti basta dimostrare che $ l^(-) = f(x_0) $ e che $ f(x_0) = l^(+) $.
Supponi per assurdo che $ l^(-) < f(x_0) $ e cerca di arrivare a dimostrare che l'immagine non è più un intervallo sfruttando la monotonia della funzione e l'uguaglianza [tex]$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in X, x
Dimmi se è tutto ok.
Allora suppongo per assurdo che $l^(-) < f(x_(0)) $ e che $ f(x_(0)) = l ^(+) $.
Se considero l'intervallo $(l^(-), f(x_(0)))$ allora per la monotònia della funzione vedo subito che non vi cadono tutte le x e quindi giungo ad un assurdo. E' corretto cosi?
Se considero l'intervallo $(l^(-), f(x_(0)))$ allora per la monotònia della funzione vedo subito che non vi cadono tutte le x e quindi giungo ad un assurdo. E' corretto cosi?
"Cloudy":
Allora suppongo per assurdo che $l^(-) < f(x_(0)) $ e che $ f(x_(0)) = l ^(+) $.
Calma. Tu devi dimostrare due uguaglianze e le dimostri, separatamente, entrambe per assurdo. Mentre dimostri la prima non serve fare assunzioni sulla seconda. Giusto per capirci se $x_0$ fosse il massimo del dominio della funzione non avrebbe senso parlare di limite da destra né, comunque, servirebbe, capito?
"Cloudy":
Se considero l'intervallo $(l^(-), f(x_(0)))$ allora per la monotònia della funzione vedo subito che non vi cadono tutte le x e quindi giungo ad un assurdo. E' corretto cosi?
Per la precisione l'intervallo aperto $]l^(-), f(x_(0))[$ ha intersezione nulla con l'immagine, cioè non vi cade nessuna $f(x)$ e da qui si ha un assurdo, esatto!
Scusa se non ho risposto prima, ma ho avuto problemi con la connessione. Grazie per l'aiuto, adesso è tutto chiaro 
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