Teorema fondamentale dell'algebra: dubbi su grado di un polinomio e numero di radici.

[simosier]

Ciao a tutti.

Ho un dubbio riguardo il tema in oggetto e spero che qualcuno possa aiutarmi a capire.
Il teorema fondamentale dell'algebra ha come conseguenza che un polinomio di grado $ n $ ha esattamente $ n $ radici complesse.
Risolvendo però questa equazione: $ z^2 = \bar z $ si scopre che essa ammette quattro radici, due reali e una complessa con molteplicità 2. La domanda quindi è: visto che il polinomio è di secondo grado perché presenta 4 soluzioni e non due?

Scusate se la domanda è stupida. Ringrazio in anticipò chi vorrà aiutarmi

[gugo82]

Beh, l’equazione $z^2 = bar(z)$ non è polinomiale…

[dissonance]

"simostotele":

Scusate se la domanda è stupida.

Non lo è. Si tratta di una cosa importante su cui vale la pena riflettere.

Come dice Gugo, il teorema fondamentale dell'algebra riguarda l'equazione \(P(z)=0\), dove \(P\) è un polinomio. Invece la tua equazione è della forma \(P(z, \overline z)=0\)...

Vuoi un esempio ancora più eclatante? Prendi \(P(z, \overline z)=z\overline z - 1\). L'equazione \(P(z, \overline z)=0\) descrive una circonferenza di raggio 1, addirittura un insieme infinito.

[simosier]

Grazie per il chiarimento.
Esiste qualche teorema o criterio che ci permette di conoscere a priori il numero di soluzioni complesse di equazioni che non sono del tipo $ P(z)=0 $ come quella dell'esempio ?

[dissonance]

No. L'unica cosa che puoi fare è vederle come sistemi di due equazioni reali in due incognite reali.