Teorema fondamentale del calcolo integrale

[SharpEdges]

Ciao a tutti, come da titolo ho una domanda sul teorema fondamentale del calcolo integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: Sia f una funzione continua in [a,b]. La funzione integrale $ F(x)=int_(a)^(x) f(t)dt $ è derivabile, e la derivata vale $ F'(x)=f(x) $ $ AA x in[a,b] $.
Quello che mi chiedo è: tale teorema richiede come ipotesi che la funzione sia continua, ma sbaglio o anche una funzione monotona e non necessariamente continua è integrabile secondo Riemann?

[anto_zoolander]

La continuità si usa per utilizzare la media integrale che utilizza weierstrass per essere dimostrato.

[SharpEdges]

Giusto, mi era sfuggito, tutto torna

[donald_zeka]

Se $f(x)$ non è continua allora la derivata di F(x) non puó essere $f(x)$, proprio perché si dovrebbe verificare che derivata destra e sinistra coincidono, ma essendo f disconrinua in qualche punto, questo non è verificato.

[SharpEdges]

Sisi chiarissimo, mi ero un attimo confuso pensando alla integrabilità delle funzioni monotone, tutto qui, ma effettivamente mi sarebbe bastato pensare proprio al secondo teorema dei valori intermedi, come citato da anto, dal momento che è interpellato il teorema di Weierstrass per la ricerca di massimo e minimo.
Ad ogni modo grazie ad entrambi

[otta96]

Voglio aggiungere qualcosa:

"SharpEdges":ma sbaglio o anche una funzione monotona e non necessariamente continua è derivabile secondo Riemann?

Derivabile secondo Riemann? E che vorrebbe dire? Immagino tu intendessi integrabile secondo Riemann, in tal caso è vero, ma non c'entra molto con la tesi del teorema, comunque si può dire qualcosa pure sulla funzione integrale di una funzione monotona, cioè che è convessa.

"anto_zoolander":La continuità si usa per utilizzare la media integrale che utilizza weierstrass per essere dimostrato.

Si può fare anche senza Weierstrass, infatti non è indispensabile che la funzione sia continua in tutto $[a,b]$, ma basta che sia continua in $x_0\in[a,b]$ per poter concludere che $F$ è derivabile in $x_0$ e vale $F'(x_0)=f(x_0)$, e la dimostrazione non usa la media integrale.

"Vulplasir":Se $ f(x) $ non è continua allora la derivata di F(x) non puó essere $ f(x) $

In realtà può succedere, se prendo $f:[0,1]->RR$; $f(x)={(1,ifx!=1/2),(0,ifx=1/2):}$, si ha che $AAx\in[0,1],F(x)=x$, quindi $AAx\in[0,1],F'(x)=1$, in particolare $F'(1/2)=1!=0=f(1/2)$.

[donald_zeka]

@otta96 ma $f(1/2)=0$

[SharpEdges]

"otta96":Voglio aggiungere qualcosa:[quote="SharpEdges"]ma sbaglio o anche una funzione monotona e non necessariamente continua è derivabile secondo Riemann?

Derivabile secondo Riemann? E che vorrebbe dire? Immagino tu intendessi integrabile secondo Riemann.[/quote]
Si, intendevo integrabile, avevo appena finito di ripassare derivate ed integrali .
Edito subito, grazie per avermelo fatto notare.

"otta96":Si può fare anche senza Weierstrass, infatti non è indispensabile che la funzione sia continua in tutto $ [a,b] $, ma basta che sia continua in $ x_0\in[a,b] $ per poter concludere che $ F $ è derivabile in $ x_0 $ e vale $ F'(x_0)=f(x_0) $, e la dimostrazione non usa la media integrale.

Questo chiarisce in pieno il mio dubbio, grazie mille otta96

[otta96]

"Vulplasir":@otta96 ma $f(1/2)=0$

Hai ragione, ho frainteso quello che stavi dicendo, la cosa che ho scritto io è un controesempio ad un'altra cosa che mi ero chiesto se fosse vera quando studiavo queste cose, ovvero "se la funzione integrale è derivabile in un punto la sua derivata coincide con il valore in quel punto dell'integranda?", per l'appunto non vale perché quello è un controesempio.
Comunque non sono troppo sicuro che quello che hai detto sia vero.