Teorema fondamentale del calcolo integrale

[BoG3]

Sia $f: [a,b] -> RR$ una funzione integrabile, definisco la funzione integrale $F$ così:
$F(x) = \int_a^xf(t)dt$ con $a<=x<=b$

La prima parte del teorema dice che:
$F '(x) = f(x)$ significa che derivando una primitiva di $f(x)$ ottengo la primitiva di $F(x)$? che tra l'altro è la stessa $f(x)$!! in questo caso non dovrei ottenere la derivata seconda di $f(x)$?

Ho provato a fare questo ragionamento: $f'(x) = F(x)$ :

$\intF(x) = \intf'(x) =>\intF'(x) = \intf''(x) => F(x) = f'(x)$ il che è corretto mi sembra!

Invece se faccio: $F '(x) = f(x)$

$\intF'(x) = \intf(x) => F(x)= \intf(x)$ ma sbaglio o dovrebbe essere esattamente l'incontrario?

... sono confuso...

[Zero87]

"BoG":$F '(x) = f(x)$ significa che derivando una primitiva di $f(x)$ ottengo la primitiva di $F(x)$?

Derivando una primitiva di $f(x)$ non ottieni la primitiva di $F(x)$ ma la derivata di $F(x)$ che è, proprio, $f(x)$.