Teorema fondamentale del calcolo
Il teorema è scritto nel seguente modo:
Sia $ f $ una funzione integrabile in $ [a,b]$ e sia $ F $ la funzione integrale definita $ F(x)= int_(a)^(x) f(t) dt $ , con $ x in [a,b] $.
i) Se $ f $ è continua in $ x_0 in [a,b] $, allora $ F $ è derivabile in $ x_0 $ e si ha $ F'(x_0) = f(x_0).$
ii) Se $ f $ è continua in $ [a,b] $ e se $ G(x) $ , $ x in [a,b] $, è una funzione derivabile con $ G'(x)=f(x) $ $ G'(x)=f(x) $ $ AA x in [a,b] $ allora $ int_(a)^(b) f(x)dx =G(b)-G(a) $.
Non riesco a capire la prima parte della dimostrazione, quindi per ora riporterò solamente la prima parte.
Dim:
Dalla additività dell'integrale orientato $ F(x)-F(x_0)=int_(x_0)^(x) f(t)dt $
Si ha quindi per $ x in (x_o,b] $
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)|= |1/(x-x_0) int_(x_0)^(x)(f(t)-f(x_0)) dt| $ ....
Le cose che non riesco a capire sono:
1) Da dove viene fuori il valore assoluto e cosa sta cercando di fare con quella operazione?
2)Posso portare dentro l' integrale una costante ( $ f(x_0) $ ) e il valore dell'integrale non cambia?
Grazie anticipatamente
Sia $ f $ una funzione integrabile in $ [a,b]$ e sia $ F $ la funzione integrale definita $ F(x)= int_(a)^(x) f(t) dt $ , con $ x in [a,b] $.
i) Se $ f $ è continua in $ x_0 in [a,b] $, allora $ F $ è derivabile in $ x_0 $ e si ha $ F'(x_0) = f(x_0).$
ii) Se $ f $ è continua in $ [a,b] $ e se $ G(x) $ , $ x in [a,b] $, è una funzione derivabile con $ G'(x)=f(x) $ $ G'(x)=f(x) $ $ AA x in [a,b] $ allora $ int_(a)^(b) f(x)dx =G(b)-G(a) $.
Non riesco a capire la prima parte della dimostrazione, quindi per ora riporterò solamente la prima parte.
Dim:
Dalla additività dell'integrale orientato $ F(x)-F(x_0)=int_(x_0)^(x) f(t)dt $
Si ha quindi per $ x in (x_o,b] $
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)|= |1/(x-x_0) int_(x_0)^(x)(f(t)-f(x_0)) dt| $ ....
Le cose che non riesco a capire sono:
1) Da dove viene fuori il valore assoluto e cosa sta cercando di fare con quella operazione?
2)Posso portare dentro l' integrale una costante ( $ f(x_0) $ ) e il valore dell'integrale non cambia?
Grazie anticipatamente
Risposte
"niccoset":
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)|= |1/(x-x_0) int_(x_0)^(x)(f(t)-f(x_0)) dt| $ ....
Le cose che non riesco a capire sono:
1) Da dove viene fuori il valore assoluto e cosa sta cercando di fare con quella operazione?
2)Posso portare dentro l' integrale una costante ( $ f(x_0) $ ) e il valore dell'integrale non cambia?
1) Devi dimostrare che \(F\) è derivabile in \(x_0\), cioè esiste finito il limite del rapporto incrementale incrementale, e che la sua derivata in \(x_0\) vale \(f(x_0)\). In altri termini, devi dimostrare che
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{F(x) - F(x_0)}{x- x_0} = f(x_0),
\]
che puoi scrivere anche come
\[
\lim_{x\to x_0} \left(\frac{F(x) - F(x_0)}{x- x_0} - f(x_0)\right) = 0.
\]
D'altra parte una funzione tende a \(0\) se e solo se tende a \(0\) il suo modulo, quindi l'ultimo limite equivale a
\[
\lim_{x\to x_0} \left|\frac{F(x) - F(x_0)}{x- x_0} - f(x_0)\right| = 0.
\]
2) Osserva che \(\int_{x_0}^x f(x_0)\, dx = f(x_0) \cdot (x-x_0)\), proprio perché \(f(x_0)\) è una costante; in particolare, se \(x\neq x_0\),
\[
f(x_0) = \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x_0)\, dx\,.
\]
Grazie mille sei stato molto chiaro. Non capisco però perchè utilizzare il modulo nel punto 1).
"niccoset":
Non capisco però perchè utilizzare il modulo nel punto 1).
Immagino che poi, nel corso della dimostrazione, compaiano delle stime.
Se tu maggiori quel modulo con qualcosa che tende a \(0\), automaticamente quel limite è nullo (per il teorema del confronto, tenendo conto che il modulo è sempre \(\geq 0\)).
Più precisamente, se hai una funzione \(h(x)\) tale che
\[
|h(x)| \leq \text{qualcosa che tende a \(0\) per}\ x\to x_0,
\]
allora \(\lim_{x\to x_0} h(x) = 0\).
D'altra parte, se hai solo
\[
h(x) \leq \text{qualcosa che tende a \(0\) per}\ x\to x_0,
\]
non puoi giungere alla stessa conclusione.
Perfetto è proprio come dici te infatti. Grazie.
Nel seguito della dimostrazione è present questa cosa che non riesco tanto a capire
$ 1/(x-x_0)int_(x_0)^(x) |f(t)-f(x_0)| dt <= "sup"_(t in(x_0,x))|f(t)-f(x_0)| <=\epsilon$
Potreste darmi una spiegazione geometrica e/o algebrica di questa disuguaglianza (senza considerare epsilon). E' come se a sinistra considerassi l'altezza e a destra la massima altezza? Grazie
Nel seguito la dimostrazione continua così:
Dal momento che $ f $ è continua in $ x_0 $, per ipotesi si ha che $ AA epsilon>0, EE delta >0 t.c. |f(x)-f(x_0)|
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)| $ tende a zero per $ x->x_0^+ $
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)| $ tende a zero per $ x->x_0^- $ con $ x in[a,x_0) $
Mettendo insieme e applicando il teorema del confronto si ha che $ lim _(x->x_0)(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)=f(x_0) $
Non capisco dove è la conseguenza quando dice "e dunque ... tende a zero" e perchè usa il teorema del confronto e non la proposizione della permanenza del segno. Grazie anticipatamente.
$ 1/(x-x_0)int_(x_0)^(x) |f(t)-f(x_0)| dt <= "sup"_(t in(x_0,x))|f(t)-f(x_0)| <=\epsilon$
Potreste darmi una spiegazione geometrica e/o algebrica di questa disuguaglianza (senza considerare epsilon). E' come se a sinistra considerassi l'altezza e a destra la massima altezza? Grazie
Nel seguito la dimostrazione continua così:
Dal momento che $ f $ è continua in $ x_0 $, per ipotesi si ha che $ AA epsilon>0, EE delta >0 t.c. |f(x)-f(x_0)|
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)| $ tende a zero per $ x->x_0^+ $
$ |(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)-f(x_0)| $ tende a zero per $ x->x_0^- $ con $ x in[a,x_0) $
Mettendo insieme e applicando il teorema del confronto si ha che $ lim _(x->x_0)(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)=f(x_0) $
Non capisco dove è la conseguenza quando dice "e dunque ... tende a zero" e perchè usa il teorema del confronto e non la proposizione della permanenza del segno. Grazie anticipatamente.
Beh, hai:
\[
\forall t\in [x_0,x],\ |f(t) - f(x_0)|\leq \sup_{t\in [x_0,x]} |f(t) - f(x_0)| =: M
\]
perchè l'estremo superiore è un maggiorante; allora, la funzione \(|f(t)-f(x_0)|\) è maggiorata dalla funzione costante \(g(t):=M\) e la monotonia dell'integrale implica:
\[
\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\ \text{d} t \leq \int_{x_0}^x M\ \text{d} t = M\ (x-x_0)
\]
da cui, per \(x> x_0\), segue:
\[
\frac{1}{x-x_0}\ \int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\ \text{d} t \leq M = \sup_{t\in x_0} |f(t)-f(x_0)|\; .
\]
\[
\forall t\in [x_0,x],\ |f(t) - f(x_0)|\leq \sup_{t\in [x_0,x]} |f(t) - f(x_0)| =: M
\]
perchè l'estremo superiore è un maggiorante; allora, la funzione \(|f(t)-f(x_0)|\) è maggiorata dalla funzione costante \(g(t):=M\) e la monotonia dell'integrale implica:
\[
\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\ \text{d} t \leq \int_{x_0}^x M\ \text{d} t = M\ (x-x_0)
\]
da cui, per \(x> x_0\), segue:
\[
\frac{1}{x-x_0}\ \int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\ \text{d} t \leq M = \sup_{t\in x_0} |f(t)-f(x_0)|\; .
\]
Intanto grazie, ho modificato la domanda nel frattempo. Dai tuoi passaggi mi risulta chiaro, ma è sbagliato completamente parlare di altezza e di altezza massima?
"niccoset":
Intanto grazie, ho modificato la domanda nel frattempo. Dai tuoi passaggi mi risulta chiaro, ma è sbagliato completamente parlare di altezza e di altezza massima?
Ni...
Innanzitutto, se conosci l'interpretazione geometrica dell'integrale definito, saprai che l'integrale definito di una funzione positiva è l'area del rettangoloide subordinato al grafico della funzione; pertanto l'integrale \(\int_{x_0}^x |f(t)-f(x_0)|\text{d} t\) è l'area del rettangoloide \(\mathcal{R}(\phi;x_0,x)\) subordinato al grafico della funzione positiva \(\phi (t) := |f(t)-f(x_0)|\) nell'intervallo di estremi \([x_0,x]\) (qui sto supponendo \(x>x_0\)).
Chiaramente, tale rettangoloide è contenuto nel rettangolo \(R\) del piano di base l'intervallo \([x_0,x]\) e con altezza il numero \(M:=\sup_{t\in [x_0,x]} \phi (t)\), cioé nel rettangolo \([x_0,x]\times [0,M]\).
Dato che l'area (diciamo nel senso della misura di Peano-Jordan) è un funzoinale crescente rispetto all'inclusione di insiemi misurabili, cioé che risulta:
\[
\left. \begin{split} E,F &\subseteq \mathbb{R}^2 \text{ misurabili}\\
E &\subseteq F
\end{split}\right\}\ \Rightarrow\ \operatorname{area} (E)\leq \operatorname{area} (F)\; ,
\]
hai ovviamente:
\[
\int_{x_0}^x \phi (t)\ \text{d} t=\operatorname{area} (\mathcal{R}(\phi;x_0,x)) \leq \operatorname{area} (R) = M\ (x-x_0)\; .
\]
Quindi, in un certo senso, l'interpretazione geometrica è corretta; però essa va riferita non alla funzione \(f\), ma alla funzione ausiliaria \(\phi (t):=|f(t)-f(x_0)|\) che misura "la distanza" tra i valori di \(f(t)\) ed il valore \(f(x_0)\).
Molte grazie, per quanto riguarda invece questa domanda "Non capisco dove è la conseguenza quando dice "e dunque ... tende a zero" e perchè usa il teorema del confronto e non la proposizione della permanenza del segno" sbaglio? grazie in anticipo.
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