Teorema fondamentale calcolo integrale

[maxpix]

Buongiorno, nel programma d'esame di analisi 1 del mio corso il teorema fondamentale del calcolo integrale viene riportato diviso in due parti ma le dimostrazioni che trovo sono uniche.
Io ho dimostrato questo teorema: "Sia $f : [a,b] -> R$ una funzione continua in un punto $x_0$ in $[a,b]$, allora $1)$ la funzione integrale $F(x)$ è derivabile in $x_0$ $2) F'(x_0) = f(x_0)$". Manca qualche parte del teorema?
Grazie

[Rigel1]

A occhio direi sia necessario richiedere che \(f\) sia localmente (Riemann) integrabile.
Infatti, se \(g\) è la funzione di Dirichlet e \(f(x) = x\cdot g(x)\), allora \(f\) è continua nell'origine ma la sua funzione integrale non è nemmeno definita.