Teorema esistenza (locale o glabale) per sistemi di equazioni differenziali

[lucillina1]

Salve, oggi mi è saltato fuori un dubbio su una cosa data ormai scontata per lungo tempo...
Consideriamo la condizione di sublinearità, che garantisce la prolungabilità globale di una soluzione massimale per un sistema di edo. Se il sistema è:
\[ \dot{x}=f(x,t),
\]
dove $x \in \mathbb{R}^n$ ef $f:A \subset \mathbb{R}^n ->\mathbb{R}^n$ (con tutte le sue belle ipotesi per avere esistenza locale), in alcuni testi la condizione è data da:
\[
\parallel f(x,t)\parallel \leq a \parallel x \parallel + b,
\]
dove con $\parallel $ (suppongo) indichino la norma euclidea in $\mathbb{R}^n$. Posso affermare che il teorema vale anche se suppongo che ogni componente $f_j$ della funzione $f$ sia sublineare nelle sue variabili?? per esempio, per un sistema 2.dim:
\[
\dot{x}=f_1(x,y,t)\\
\dot{y}=f_2 (x,y,t)
\]
se $| f_{1,2}(x,t) | \leq a_{1,2} | x|+b_{1,2}| y |+c_{1,2}$, ogni soluzione locale è massimale?

[gugo82]

Se poni \(f:=(f_1,f_2)\) ed \(u=(x,y)\), il tuo sistema si riscrive:
\[
\dot{u} = f(u,t)
\]
che è del tipo per cui vale il teorema. Ora, hai:
\[
\| f(u,t)\|^2 = \| f_1(u,t)\|^2 + \| f_2(u,t)\|^2 \leq \Big( \| f_1(u,t)\| + \| f_2(u,t)\|\Big)^2 \leq \Big( A |x| + B |y| + C\Big)^2
\]
sicché
\[
\| f(u,t)\| \leq \alpha\ |u| + C
\]
ed il teorema di estensione ti vale. Perciò ogni soluzione locale \(u=(x,y)\) si può estendere in una soluzione massimale globale.