Teorema Dini ad una variabile...
salve volevo sapere se esiste il teorema del dini ad una variabile, e se si come dovrei impostarlo e dimostrarlo?
Risposte
Qual è il significato del teorema del Dini che hai studiato?
io conosco quello con due varibili che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione $f(x,y)$ si può esplicitare rispetto a una sola variabile.
Esatto... In parole povere, se l'equazione implicita \(F(x,y)=0\) lo consente, puoi esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cioé scrivere \(y=f(x)\) oppure \(x=g(y)\) (per opportune \(f\) e \(g\)).
Detto ciò, se l'equazione contiene una sola variabile, come fai ad esplicitarla in funzione di qualcos'altro?
Detto ciò, se l'equazione contiene una sola variabile, come fai ad esplicitarla in funzione di qualcos'altro?
scusa... non sarebbe gia esplicata?!?
Eh?
credo di essermi perso e di non aver capito nulla io...
allora la funzione è gia $y=f(x)$ quindi non c'e bisogno di far nulla perche la variabile è gia esplicitata di per se... non so se ora mi sono spiegato bene
allora la funzione è gia $y=f(x)$ quindi non c'e bisogno di far nulla perche la variabile è gia esplicitata di per se... non so se ora mi sono spiegato bene
Sto ripassando adesso il teorema del Dini, così provo a risponderti e se sbaglio gugo mi corregge.
Allora se abbiamo una funzione in due variabili la possiamo tagliare con piani paralleli al piano $xy$ (quello di equazione $z=0$) ottenendo le curve di livello, come le isoipse delle carte topografiche, giusto?
Se consideriamo solo l'intersezione tra la funzione e il piano $xy$, quello a quota 0 (il livello del mare, se ci riferiamo alla metafora precedente) otteniamo una curva che unisce tutti i punti a quota 0, la linea di costa della nostra metafora topografica. Tutti i punti di quella linea sono tali che se sostituiti nella funzione restituiscono il valore 0 $f(x_P,y_P)=0$, ok?
Se però ci troviamo con funzioni in una sola variabile, non possiamo fare l'intersezione tra la funzione e il piano $xy$ se mai possiamo fare l'intersezione tra la funzione e l'asse x (quello di equazione $y=0$), quello che otterremo non sarà l'equazione di una curva o linea (ente geometrico a 1 dimensione), ma le ascisse di punti, se ce ne sono, detti zeri della funzione perchè se sostituiti nella funzione ci restituisco il valore 0 $f(x_p)=0$, pertanto non c'è nessuna curva implicita da esplicitare, perchè stiamo con una dimensione in meno.
Allora se abbiamo una funzione in due variabili la possiamo tagliare con piani paralleli al piano $xy$ (quello di equazione $z=0$) ottenendo le curve di livello, come le isoipse delle carte topografiche, giusto?
Se consideriamo solo l'intersezione tra la funzione e il piano $xy$, quello a quota 0 (il livello del mare, se ci riferiamo alla metafora precedente) otteniamo una curva che unisce tutti i punti a quota 0, la linea di costa della nostra metafora topografica. Tutti i punti di quella linea sono tali che se sostituiti nella funzione restituiscono il valore 0 $f(x_P,y_P)=0$, ok?
Se però ci troviamo con funzioni in una sola variabile, non possiamo fare l'intersezione tra la funzione e il piano $xy$ se mai possiamo fare l'intersezione tra la funzione e l'asse x (quello di equazione $y=0$), quello che otterremo non sarà l'equazione di una curva o linea (ente geometrico a 1 dimensione), ma le ascisse di punti, se ce ne sono, detti zeri della funzione perchè se sostituiti nella funzione ci restituisco il valore 0 $f(x_p)=0$, pertanto non c'è nessuna curva implicita da esplicitare, perchè stiamo con una dimensione in meno.
Non si tratta tanto di "esplicitare curve", ma di risolvere equazioni in più variabili.
Il teorema del Dini consente, sotto opportune condizioni, di risolvere l'equazione \(F(x,y)=0\) o rispetto ad \(x\) (ottenendo qualcosa nella forma \(y=f(x)\)) oppure rispetto ad \(y\) (ottenendo \(x=g(y)\)); ciò vuol dire che per tutti gli \(x\) [risp. \(y\)] in un opportuno insieme, esiste un unico \(y=f(x)\) [risp. \(x=g(y)\)] tale che la coppia \((x,f(x))\) [risp. \((g(y),y)\)] è soluzione di \(F(x,y)=0\).
Analogamente, un'equazione del tipo \(F(x,y,z)=0\) può essere risolta, sotto opportune condizioni, rispetto a due delle tre variabili (ad esempio, ottenendo \(z=f(x,y)\), cioé la terna \((x,y,f(x,y))\) è soluzione di \(F(x,y,z)=0\)).
Lo stesso quando si hanno più di tre variabili.
Invece, se nell'equazione compare solo un'incognita, \(F(x)=0\), non è possibile esplicitare la variabile in funzione di altre variabili... Perché non ce ne sono!
Quindi, il teorema del Dini non ha alcun senso in una sola variabile.
L'unica cosa che ha senso, nel caso di un'equazione tipo \(F(x)=0\) è un teorema che ti assicuri che esistono soluzioni... Ma questo è il caro vecchio teorema degli zeri di Analisi I.
Il teorema del Dini consente, sotto opportune condizioni, di risolvere l'equazione \(F(x,y)=0\) o rispetto ad \(x\) (ottenendo qualcosa nella forma \(y=f(x)\)) oppure rispetto ad \(y\) (ottenendo \(x=g(y)\)); ciò vuol dire che per tutti gli \(x\) [risp. \(y\)] in un opportuno insieme, esiste un unico \(y=f(x)\) [risp. \(x=g(y)\)] tale che la coppia \((x,f(x))\) [risp. \((g(y),y)\)] è soluzione di \(F(x,y)=0\).
Analogamente, un'equazione del tipo \(F(x,y,z)=0\) può essere risolta, sotto opportune condizioni, rispetto a due delle tre variabili (ad esempio, ottenendo \(z=f(x,y)\), cioé la terna \((x,y,f(x,y))\) è soluzione di \(F(x,y,z)=0\)).
Lo stesso quando si hanno più di tre variabili.
Invece, se nell'equazione compare solo un'incognita, \(F(x)=0\), non è possibile esplicitare la variabile in funzione di altre variabili... Perché non ce ne sono!
Quindi, il teorema del Dini non ha alcun senso in una sola variabile.
L'unica cosa che ha senso, nel caso di un'equazione tipo \(F(x)=0\) è un teorema che ti assicuri che esistono soluzioni... Ma questo è il caro vecchio teorema degli zeri di Analisi I.
ok capito, la cosa che non mi torna e che il prof ha assengato 12 punti a questo esercizio O.o e chiedeva pure la dimostrazione
Potresti riportare il quesito per intero?
il prof chiede:
"si enunci e si dimostri il teorema del Dini per funzioni di una variabile"
"si enunci e si dimostri il teorema del Dini per funzioni di una variabile"
Mah... Mi pare davvero strano.
Potrebbe trattarsi di un errore di battitura.
Potrebbe trattarsi di un errore di battitura.
O ha sbagliato a scrivere "una variabile" oppure ha sbagliato teorema 
L'unico altro teorema che mi viene in mente chiamato così è [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Dini's_theorem]questo[/url], ma non credo c'entri.
L'unico altro teorema che mi viene in mente chiamato così è [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Dini's_theorem]questo[/url], ma non credo c'entri.
non so che dire... è possibile che si tratti del teorema delle contrazioni? (non so se è lo stesso che hai postato tu perche non l'ho capito bene e non mi entra in testa 
ma è nel programma del prof)
ma è nel programma del prof)
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