Teorema differenziale totale (f in due variabili reali)
Salve a tutti ragazzi!
Oggi avevo bisogno di una mano riguardo il teorema del differenziale totale.
Principalmente i miei problemi riguardano alcuni concetti che esporrò dopo la dimostrazione del teorema
(sperando di averla reinterpretata correttamente)
Hp: $f:AsubeRrarrR$ e $fin C^1(A)$
Th: $f$ è differenziabile in A
*********************************
Intanto, per ordinare un pò le idee, dovrei poter dire che dobbiamo dimostrare che vale la relazione:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(delf)/(delx)(x_0,y_0)h-(delf)/(dely)(x_0,y_0)k=o(sqrt(h^2+k^2))$
Ottenuta dalla definizione di differenziale, cioè:
$\lim_{(h,k) \to \(0,0)}(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(delf)/(delx)(x_0,y_0)h-(delf)/(dely)(x_0,y_0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
che tramite la scrittura fuori dal limite può essere riscritta come:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(delf)/(delx)(x_0,y_0)h-(delf)/(dely)(x_0,y_0)k=o(sqrt(h^2+k^2))$
Ora, se le considerazioni sono giuste, potrei partire con la dimostrazione
**** DIMOSTRAZIONE *****
Intanto l'idea centrale su cui si basa la dimostrazione consiste nel considerare gli incrementi h e k come indipendenti,
cioè considerare il passaggio dal punto $(x_0,y_0)$ al punto $(x_0+h,y_0+k)$ nelle due seguenti fasi distinte:
1)Da $(x_0,y_0)$ a $(x_0+h,y_0)$
2)Da $(x_0+h,y_0)$ a $(x_0+h,y_0+k)$
Quindi il passaggio si vede come somma della fase 1 e 2.
Ora le 2 fasi si possono descrivere tramite funzioni di una sola variabile in quanto la prima mantiene costante il valore $y_0$
e la seconda il valore $x_0+k$, cioè alla fase 1 corrisponde a una funzione del tipo $xrarrf(x)$ e alla fase 2 una del tipo $yrarrf(y)$
FASE 1
Scriviamo l'incremento di f in funzione del solo incremento della sola x, tramite la definizione di differenziale di funzioni in singola variabile,
come:
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)h+epsilon_1(h)h$ dove se $hrarr0$ implica che $epsilon_1(h)rarr0$.
Facendo tornare la funzione del tipo $xrarrf(x)$ in R^2, cioè ponendo $f(x,y_0)$, si ottiene dalla precedente relazione:
$f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)=(delf)/(delx)(x_0,y_0)h+epsilon_1(h)h$
FASE 2
Applichiamo il teorema del valore medio alla seconda funzione $yrarrf(y)$.
Richiamo il teorema:
Hp: f continua in un intervallo [a,b] e derivabile in (a,b)
Th: esiste un punto c compreso tra a e b inclusi tale che $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
Quindi il nostro a corrisponde a il punto $y_0$, il nostro b a il punto $y_0+k$ e l'ampiezza dell'intervallo, cioè il b-a, corrisponde a $y_0+k-y_0=k$
Quindi otteniamo che esiste un punto c compreso tra a e b inclusi tale che $f'(c)=(f(y_0+k)-f(y_0))/(k)$.
Ora quest'ultima relazione possiamo riscriverla come $f'(c)k=f(y_0+k)-f(y_0)$.
Che, posto $f(x_0+k,y)$, corrisponde a:
$(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=f(x_0+k,y_0+k)-f(x_0+k,y_0)$.
Ora, descritte le 2 fasi, possiamo ricombinarle per ottenere il passaggio completo dal punto $(x_0,y_0)$ al punto $(x_0+h,y_0+k)$.
Otteniamo sommando fase 1 e fase 2 la relazione:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(delf)/(delx)(x_0,y_0)h+(delf)/(dely)(x_0+k,c)k+epsilon_1(h)h$
Siccome assumiamo per ipotesi che $(delf)/(dely)$ sia continua, vale la relazione:
$(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k
con $epsilon_2(k,h)rarr0$ per $(h,k)rarr(0,0)$
quindi possiamo riscrivere la relazione come:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(delf)/(delx)(x_0,y_0)h+(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$
A questo punto otteniamo la tesi in quanto la quantità $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ si comporta come $o(sqrt(h^2+k^2))$ per $(h,k)rarr(0,0)$.
**** FINE DIMOSTRAZIONE *****
Ora, ribadendo il fatto che non sono sicuro di aver reinterpretato bene il teorema, mi sorgono alcuni dubbi a livello concettuale, che qui' troiaio di libro di analisi che mi ritrovo non mi toglie:
1) Perchè per la prima fase differenziamo f(x) e per la seconda applichiamo lagrange a f(y)?
Solo per comodità, cioè per far in maniera tale che si riesca a ottenere la relazione della tesi?
2) Il discorso riguardo $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ è accettabile nella forma con cui l'ho posto?
3) (Un pochino più impertinente) Come si fa a dimostrare che una funzione è $fin C^1(A)$ , cioè come si fa dimostrare che in tutti i punti di A le derivate parziali esistono e sono continue?
4) Perchè la relazione $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ è valida?
O meglio, perchè la continuità delle derivate parziali implica validità della relazione?
E soprattutto, c'entrano qualcosa i differenziali con questa relazione?
(per il fatto che compare una funzione infinitesima)
5) C'ho chiappato qualcosa su questo teorema?
Grazie a tutti in anticipo!
Oggi avevo bisogno di una mano riguardo il teorema del differenziale totale.
Principalmente i miei problemi riguardano alcuni concetti che esporrò dopo la dimostrazione del teorema
(sperando di averla reinterpretata correttamente)
Hp: $f:AsubeRrarrR$ e $fin C^1(A)$
Th: $f$ è differenziabile in A
*********************************
Intanto, per ordinare un pò le idee, dovrei poter dire che dobbiamo dimostrare che vale la relazione:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(delf)/(delx)(x_0,y_0)h-(delf)/(dely)(x_0,y_0)k=o(sqrt(h^2+k^2))$
Ottenuta dalla definizione di differenziale, cioè:
$\lim_{(h,k) \to \(0,0)}(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(delf)/(delx)(x_0,y_0)h-(delf)/(dely)(x_0,y_0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
che tramite la scrittura fuori dal limite può essere riscritta come:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(delf)/(delx)(x_0,y_0)h-(delf)/(dely)(x_0,y_0)k=o(sqrt(h^2+k^2))$
Ora, se le considerazioni sono giuste, potrei partire con la dimostrazione
**** DIMOSTRAZIONE *****
Intanto l'idea centrale su cui si basa la dimostrazione consiste nel considerare gli incrementi h e k come indipendenti,
cioè considerare il passaggio dal punto $(x_0,y_0)$ al punto $(x_0+h,y_0+k)$ nelle due seguenti fasi distinte:
1)Da $(x_0,y_0)$ a $(x_0+h,y_0)$
2)Da $(x_0+h,y_0)$ a $(x_0+h,y_0+k)$
Quindi il passaggio si vede come somma della fase 1 e 2.
Ora le 2 fasi si possono descrivere tramite funzioni di una sola variabile in quanto la prima mantiene costante il valore $y_0$
e la seconda il valore $x_0+k$, cioè alla fase 1 corrisponde a una funzione del tipo $xrarrf(x)$ e alla fase 2 una del tipo $yrarrf(y)$
FASE 1
Scriviamo l'incremento di f in funzione del solo incremento della sola x, tramite la definizione di differenziale di funzioni in singola variabile,
come:
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)h+epsilon_1(h)h$ dove se $hrarr0$ implica che $epsilon_1(h)rarr0$.
Facendo tornare la funzione del tipo $xrarrf(x)$ in R^2, cioè ponendo $f(x,y_0)$, si ottiene dalla precedente relazione:
$f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)=(delf)/(delx)(x_0,y_0)h+epsilon_1(h)h$
FASE 2
Applichiamo il teorema del valore medio alla seconda funzione $yrarrf(y)$.
Richiamo il teorema:
Hp: f continua in un intervallo [a,b] e derivabile in (a,b)
Th: esiste un punto c compreso tra a e b inclusi tale che $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
Quindi il nostro a corrisponde a il punto $y_0$, il nostro b a il punto $y_0+k$ e l'ampiezza dell'intervallo, cioè il b-a, corrisponde a $y_0+k-y_0=k$
Quindi otteniamo che esiste un punto c compreso tra a e b inclusi tale che $f'(c)=(f(y_0+k)-f(y_0))/(k)$.
Ora quest'ultima relazione possiamo riscriverla come $f'(c)k=f(y_0+k)-f(y_0)$.
Che, posto $f(x_0+k,y)$, corrisponde a:
$(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=f(x_0+k,y_0+k)-f(x_0+k,y_0)$.
Ora, descritte le 2 fasi, possiamo ricombinarle per ottenere il passaggio completo dal punto $(x_0,y_0)$ al punto $(x_0+h,y_0+k)$.
Otteniamo sommando fase 1 e fase 2 la relazione:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(delf)/(delx)(x_0,y_0)h+(delf)/(dely)(x_0+k,c)k+epsilon_1(h)h$
Siccome assumiamo per ipotesi che $(delf)/(dely)$ sia continua, vale la relazione:
$(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k
con $epsilon_2(k,h)rarr0$ per $(h,k)rarr(0,0)$
quindi possiamo riscrivere la relazione come:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(delf)/(delx)(x_0,y_0)h+(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$
A questo punto otteniamo la tesi in quanto la quantità $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ si comporta come $o(sqrt(h^2+k^2))$ per $(h,k)rarr(0,0)$.
**** FINE DIMOSTRAZIONE *****
Ora, ribadendo il fatto che non sono sicuro di aver reinterpretato bene il teorema, mi sorgono alcuni dubbi a livello concettuale, che qui' troiaio di libro di analisi che mi ritrovo non mi toglie:
1) Perchè per la prima fase differenziamo f(x) e per la seconda applichiamo lagrange a f(y)?
Solo per comodità, cioè per far in maniera tale che si riesca a ottenere la relazione della tesi?
2) Il discorso riguardo $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ è accettabile nella forma con cui l'ho posto?
3) (Un pochino più impertinente) Come si fa a dimostrare che una funzione è $fin C^1(A)$ , cioè come si fa dimostrare che in tutti i punti di A le derivate parziali esistono e sono continue?
4) Perchè la relazione $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ è valida?
O meglio, perchè la continuità delle derivate parziali implica validità della relazione?
E soprattutto, c'entrano qualcosa i differenziali con questa relazione?
(per il fatto che compare una funzione infinitesima)
5) C'ho chiappato qualcosa su questo teorema?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Il maiuscolo dal titolo... 
Scusa, modifico subito!!
Ok, rovistando tra i vecchi appunti ho ricavato qualche informazioni utile:
*Discorso $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$
Si tratta di dimostrare che $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ è un o piccolo di $sqrt(h^2+k^2)$
Quindi bisogna verificare che $lim_{(h,k)\to\(0,0)}(epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
Si può osservare che:
$(|epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k|)/(sqrt(h^2+k^2))<=epsilon_1(h)|h/(sqrt(h^2+k^2))|+epsilon_2(h,k)|k/(sqrt(h^2+k^2))|$
siccome le quantità $|h/(sqrt(h^2+k^2))|$ e $|k/(sqrt(h^2+k^2))|$ sono minori di 1,
$epsilon_1(h)$ tende a 0 per h tendente a 0 e
$epsilon_2(h,k)$ tende a 0 per (h,k) tendenti a 0,
si è verificato che $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ è un o piccolo di $sqrt(h^2+k^2)$
*Discorso $finC^1(A)$
Qui si tratta solo di un formalismo, quando si arriva ad applicare il teorema si tratta di verificare che le derivate parziali siano continue in un punto.
Teoricamente bisognerebbe verificare che in ogni punto di A le derivate parziali siano parziali, ma siccome è una condizione che cosi su due piedi mi sembra impossibile da verificare,
la si restringe a solo un numero finito di punti.
Detto alla carlona: credo che ogni esercizio che chieda di stabilire la differenziabilità tramite il teorema si riferisca alla differenziabilità in un particolare punto, non in un intervallo di punti.
Comunque sono affermazioni basate sul nulla più assoluto, quindi non ci metto la mano sul fuoco
Per le altre domande ancora non ho in mente assolutamente nessuna risposta.
Qualcuno ha qualche idea al riguardo?
*Discorso $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$
Si tratta di dimostrare che $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ è un o piccolo di $sqrt(h^2+k^2)$
Quindi bisogna verificare che $lim_{(h,k)\to\(0,0)}(epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
Si può osservare che:
$(|epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k|)/(sqrt(h^2+k^2))<=epsilon_1(h)|h/(sqrt(h^2+k^2))|+epsilon_2(h,k)|k/(sqrt(h^2+k^2))|$
siccome le quantità $|h/(sqrt(h^2+k^2))|$ e $|k/(sqrt(h^2+k^2))|$ sono minori di 1,
$epsilon_1(h)$ tende a 0 per h tendente a 0 e
$epsilon_2(h,k)$ tende a 0 per (h,k) tendenti a 0,
si è verificato che $epsilon_1(h)h+epsilon_2(k,h)k$ è un o piccolo di $sqrt(h^2+k^2)$
*Discorso $finC^1(A)$
Qui si tratta solo di un formalismo, quando si arriva ad applicare il teorema si tratta di verificare che le derivate parziali siano continue in un punto.
Teoricamente bisognerebbe verificare che in ogni punto di A le derivate parziali siano parziali, ma siccome è una condizione che cosi su due piedi mi sembra impossibile da verificare,
la si restringe a solo un numero finito di punti.
Detto alla carlona: credo che ogni esercizio che chieda di stabilire la differenziabilità tramite il teorema si riferisca alla differenziabilità in un particolare punto, non in un intervallo di punti.
Comunque sono affermazioni basate sul nulla più assoluto, quindi non ci metto la mano sul fuoco
Per le altre domande ancora non ho in mente assolutamente nessuna risposta.
Qualcuno ha qualche idea al riguardo?
Mi ero perso un pezzo per strada per il discorso della relazione $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ 
Parzialmente sono riuscito a rispondermi:
la relazione è valida in quanto $x_0+h$ per h->0 banalmente tende a $x_0$ e c tende a $y_0$ per il teorema del confronto, in quanto $y_0<=c<=y_0+k$ con k->0
Però mi è ancora oscuro il motivo percui compare la funzione $epsilon_2(k,h)k$...
Parzialmente sono riuscito a rispondermi:
la relazione è valida in quanto $x_0+h$ per h->0 banalmente tende a $x_0$ e c tende a $y_0$ per il teorema del confronto, in quanto $y_0<=c<=y_0+k$ con k->0
Però mi è ancora oscuro il motivo percui compare la funzione $epsilon_2(k,h)k$...
Nessuno è in grado di darmi una mano? 
in realta anche nel primo passaggio si usa lagrange.
a questa richiesta mi unisco anch'io
perchè è valida $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ ?
"Gost91":
Mi ero perso un pezzo per strada per il discorso della relazione $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$
Parzialmente sono riuscito a rispondermi:
la relazione è valida in quanto $x_0+h$ per h->0 banalmente tende a $x_0$ e c tende a $y_0$ per il teorema del confronto, in quanto $y_0<=c<=y_0+k$ con k->0
Però mi è ancora oscuro il motivo percui compare la funzione $epsilon_2(k,h)k$...
a questa richiesta mi unisco anch'io
perchè è valida $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ ?
Premetto che non riesco a decifrare l'ultima parte della dimostrazione, comunque in generale mi sembra tu abbia fatto abbastanza casino.
Te la scrivo come dovrebbe essere e mi dici cosa non hai capito.
Dobbiamo far vedere che nelle ipotesi di esistenza delle derivate parziali in almeno un intorno del punto $(x_0,y_0) in E$ e di continuità (sempre delle derivate parziali) nel punto, la funzione $f:E sube R^2 -> R$ è differenziabile in tale punto. Cioè dobbiamo dimostrare che $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-grad f(x_0,y_0)*(h,k)=o(sqrt(h^2+k^2))$.
Abbiamo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)+f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)$.
A questo punto come hai detto tu prima possiamo considerare le due funzioni di una variabile che hai scritto e applicare ad essere il teorema di Lagrange, ottenendo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)=f_y(x_0+h, eta)k$ dove $eta in [y_0,y_0+k]$ e $f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)=f_x(xi, y_0)h$ dove $xi in [x_0, x_0+h]$.
Ritornando all'incremento abbiamo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0+h, eta)k+f_x(xi, y_0)h=[f_y(x_0+h, eta) +f_y(x_0,y_0) -f_y(x_0,y_0)]k + [f_x(xi, y_0)+f_x(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)]h=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k + {[f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k +[f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h}$.
Una volta fatto vedere che la roba tra graffe è $o(sqrt(h^2+k^2))$ abbiamo finito. Quindi:
$|([f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k +[f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h)/sqrt(h^2+k^2)|<=|([f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k)/sqrt(h^2+k^2)|+|([f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h)/sqrt(h^2+k^2)|<= |f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)|+|f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)|$.
A questo punto è sufficiente notare che se $h->0$ allora $xi->x_0$ e che se $k->0$ allora $eta->y_0$, grazie all'ipotesi di continuità delle derivate nel punto concludiamo che l'ultima cosa scritta è infinitesima e di conseguenza ${..}=o(sqrt(h^2+k^2))$ e quindi la tesi.
Ps: l'ipotesi di esistenza delle derivate parziali in un intorno è necessaria per poter applicare il teorema di Lagrange.
Te la scrivo come dovrebbe essere e mi dici cosa non hai capito.
Dobbiamo far vedere che nelle ipotesi di esistenza delle derivate parziali in almeno un intorno del punto $(x_0,y_0) in E$ e di continuità (sempre delle derivate parziali) nel punto, la funzione $f:E sube R^2 -> R$ è differenziabile in tale punto. Cioè dobbiamo dimostrare che $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-grad f(x_0,y_0)*(h,k)=o(sqrt(h^2+k^2))$.
Abbiamo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)+f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)$.
A questo punto come hai detto tu prima possiamo considerare le due funzioni di una variabile che hai scritto e applicare ad essere il teorema di Lagrange, ottenendo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)=f_y(x_0+h, eta)k$ dove $eta in [y_0,y_0+k]$ e $f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)=f_x(xi, y_0)h$ dove $xi in [x_0, x_0+h]$.
Ritornando all'incremento abbiamo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0+h, eta)k+f_x(xi, y_0)h=[f_y(x_0+h, eta) +f_y(x_0,y_0) -f_y(x_0,y_0)]k + [f_x(xi, y_0)+f_x(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)]h=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k + {[f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k +[f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h}$.
Una volta fatto vedere che la roba tra graffe è $o(sqrt(h^2+k^2))$ abbiamo finito. Quindi:
$|([f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k +[f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h)/sqrt(h^2+k^2)|<=|([f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k)/sqrt(h^2+k^2)|+|([f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h)/sqrt(h^2+k^2)|<= |f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)|+|f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)|$.
A questo punto è sufficiente notare che se $h->0$ allora $xi->x_0$ e che se $k->0$ allora $eta->y_0$, grazie all'ipotesi di continuità delle derivate nel punto concludiamo che l'ultima cosa scritta è infinitesima e di conseguenza ${..}=o(sqrt(h^2+k^2))$ e quindi la tesi.
Ps: l'ipotesi di esistenza delle derivate parziali in un intorno è necessaria per poter applicare il teorema di Lagrange.
"Giuly19":
Ritornando all'incremento abbiamo: $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0+h, eta)k+f_x(xi, y_0)h=[f_y(x_0+h, eta) +f_y(x_0,y_0) -f_y(x_0,y_0)]k + [f_x(xi, y_0)+f_x(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)]h=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k + {[f_y(x_0+h, eta) -f_y(x_0,y_0)]k +[f_x(xi, y_0)-f_x(x_0,y_0)]h}$.
ti ringrazio davvero tanto per la risposta, sono fermo su questo teorema da ieri. non capisco però l'ultima parte citata sopra.
penso di aver capito la dimostrazione, l'unica cosa poco chiara rimane perchè sia valida $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ ?
anche sul libro che uso per la teoria svolge la dimostrazione esattamente come gost91. e compie anche lui $(delf)/(dely)(x_0+k,c)k=[(delf)/(dely)(x_0,y_0)+epsilon_2(k,h)]k$ ?
perchè?
provo ad ipotizzare..è per la linearità?
Sta semplicemente facendo il passaggio che io ho fatto alla fine perchè fosse più chiaro: $f_y(x_0+k,c)k=[f_y(x_0+k,c)-f_y(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)]k$.
Poi piglia $f_y(x_0+k,c)-f_y(x_0,y_0)$ e ti dice che è una quantità infinitesima quando $(h,k)->ul(0)$; dovrebbe però perlomeno giustificartelo come ho fatto io alla fine. Rileggi l'ultimo pezzo della mia dimostrazione e dovrebbe esserti chiaro.
Ps: per la linearità di cosa?
Poi piglia $f_y(x_0+k,c)-f_y(x_0,y_0)$ e ti dice che è una quantità infinitesima quando $(h,k)->ul(0)$; dovrebbe però perlomeno giustificartelo come ho fatto io alla fine. Rileggi l'ultimo pezzo della mia dimostrazione e dovrebbe esserti chiaro.
Ps: per la linearità di cosa?
no, ho detto una stupidata. è vero fa proprio quel ragionamento, grazie mille giuly19, sei stato davvero fondamentale.
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