Teorema di Weiestrass
quali valori di max assoluto e min assoluto ammette questa funzione e spiegatemi il perchè grazie. 
f(x) = (4-x^2)/2 in x [-2,2]
e^x-2 in x ]2,3]
x-4 in x ]3,4]
ho sostituito -2 e 4 nella funzione e ho calcolato le derivate poi cosa devo fare ?? grazie help me
f(x) = (4-x^2)/2 in x [-2,2]
e^x-2 in x ]2,3]
x-4 in x ]3,4]
ho sostituito -2 e 4 nella funzione e ho calcolato le derivate poi cosa devo fare ?? grazie help me
Risposte
calcola la derivata prima!
Ti viene positiva per x<0 e x>2
Quindi avrai un massimo per x=0 (f(0)=2)
e un minimo per x=2 (f(2)=0)
Per controllare se siano relativi o assoluti calcola la f ai bordi dell'intervallo di definizione ( [-2;4] ) e nei punti di discontinuita', facendo i limiti da destra. poi compara tutti i valori trovati...
so che non e' una spiegazione chiara, ma e' il meglio che posso permettermi... vado di corsa e non popsso inserire grafici...
Ti viene positiva per x<0 e x>2
Quindi avrai un massimo per x=0 (f(0)=2)
e un minimo per x=2 (f(2)=0)
Per controllare se siano relativi o assoluti calcola la f ai bordi dell'intervallo di definizione ( [-2;4] ) e nei punti di discontinuita', facendo i limiti da destra. poi compara tutti i valori trovati...
so che non e' una spiegazione chiara, ma e' il meglio che posso permettermi... vado di corsa e non popsso inserire grafici...
ma quale sarebbe la derivata? aiutoooooooooo
io ripeto ho fatto f(-2)=0 e f(4)=0
poi ho calcolato D((4-x^2)/2) e si annulla in zero quindi f(0)=2
e poi cosa devo fare?
io ripeto ho fatto f(-2)=0 e f(4)=0
poi ho calcolato D((4-x^2)/2) e si annulla in zero quindi f(0)=2
e poi cosa devo fare?
Se la derivata ($ y' = -x $) della funzione si annulla in $ x =0 $ ed è(sempre la derivata) $ > 0 $ per $ x <0 $ mentre è $ <0 $ per $ 0
Quindi limitatamente all'intervallo $ [-2, 2 ] $ abbiamo :
A punto di max assoluto
B e C punti di min assoluto.
Negli altri intervalli di definizione della funzione la derivata prima non si annulla mai, quindi non esistono punti di max o min relativo, devo a questo punto calcolare i valori assunti dalla funzione agli estremi :
Considero che la funzione in $ (2,3 ] $ sia $e^(x-2) $ ; io ho interpretato così.
Di conseguenza $ lim_(x rarr 2^(-)) (e^(x-2)) = 1$, mentre $ f(3 ) = e $ e chiamerò questo punto D $(3,e)$.
Considero infine l'intervallo $ (3,4] $ e si ha che :
$lim_(x rarr 3^(+)) = - 1 $.
In $ x =4$ la funzione vale : $ 0$ e chiamo E $=(4,0) $ .
In conclusione e considerando la funzione definita in tutto l'intervallo $[-2,4]$ si ha :
D $(3,e )$ punto di max assoluto
non esiste minimo assoluto ( la funzione non raggiunge il valore $-1$ ; il valore $-1 $ è solamente il limite a cui la funzione tende quando $x rarr (3^(+))$.
Quindi l'esercizio è un controesempio relativo al Teorema di Weierstrass che dice :
Una funzione continua , avente come dominio un insieme limitato e chiuso, ha estremi assoluti .
Abbiamo trovato il max assoluto , ma non il minimo assoluto eppure la funzione è definita in un insieme limitato e chiuso $[-2, 4]$
L'altra ipotesi del T.di W . , la continuità , non è verificata dalla funzione nei punti B, D ; ecco perchè pur avendo un max assoluto non ha anche un min assoluto.
Camillo
Quindi limitatamente all'intervallo $ [-2, 2 ] $ abbiamo :
A punto di max assoluto
B e C punti di min assoluto.
Negli altri intervalli di definizione della funzione la derivata prima non si annulla mai, quindi non esistono punti di max o min relativo, devo a questo punto calcolare i valori assunti dalla funzione agli estremi :
Considero che la funzione in $ (2,3 ] $ sia $e^(x-2) $ ; io ho interpretato così.
Di conseguenza $ lim_(x rarr 2^(-)) (e^(x-2)) = 1$, mentre $ f(3 ) = e $ e chiamerò questo punto D $(3,e)$.
Considero infine l'intervallo $ (3,4] $ e si ha che :
$lim_(x rarr 3^(+)) = - 1 $.
In $ x =4$ la funzione vale : $ 0$ e chiamo E $=(4,0) $ .
In conclusione e considerando la funzione definita in tutto l'intervallo $[-2,4]$ si ha :
D $(3,e )$ punto di max assoluto
non esiste minimo assoluto ( la funzione non raggiunge il valore $-1$ ; il valore $-1 $ è solamente il limite a cui la funzione tende quando $x rarr (3^(+))$.
Quindi l'esercizio è un controesempio relativo al Teorema di Weierstrass che dice :
Una funzione continua , avente come dominio un insieme limitato e chiuso, ha estremi assoluti .
Abbiamo trovato il max assoluto , ma non il minimo assoluto eppure la funzione è definita in un insieme limitato e chiuso $[-2, 4]$
L'altra ipotesi del T.di W . , la continuità , non è verificata dalla funzione nei punti B, D ; ecco perchè pur avendo un max assoluto non ha anche un min assoluto.
Camillo
Camillo grazie 1000 per la spiegazione che è risultata MOLTO chiara. Cioè il mio prof ha enunciato il teorema di Weiestrass senza mai parlare di esempi del genere. grazie Veramente.
senti un'ultima domanda se lim_(x rarr 3^(+)) fosse stato 2 nel intervallo (3,4] allora la funzione avrebbe ammesso un minimo assoluto in x=-2 e 2? grazie veramente.
Senti non è che ti va di insegnare matematica alla mia università?
senti un'ultima domanda se lim_(x rarr 3^(+)) fosse stato 2 nel intervallo (3,4] allora la funzione avrebbe ammesso un minimo assoluto in x=-2 e 2? grazie veramente.
Senti non è che ti va di insegnare matematica alla mia università?
Camillo se hai tempo mi risolvi anche questa cosi controllo i risultati
f(x) |x| [0,1[
2 [1,2]
-x^2+10x+5 [2,6]
f(x) |x| [0,1[
2 [1,2]
-x^2+10x+5 [2,6]
Scrivi più chiaramente il testo dell'esercizio.
Camillo
Camillo
è una funzione a tratti (si dice cosi?)
dovrei trovare max e min assoluto e dire se verifica weiestrass. io ho trovato max assoluto in x=5 min assoluto in x=0 ma weiestrass? dire che non lo verfica perchè 1 e 2 punti di discontinuità di prima specie.
|X| in [0,1[
2 in [1,2]
-x^2+10x+5 in [ 2,6]
questa è la funzione. aiuto
2 in [1,2]
-x^2+10x+5 in [ 2,6]
questa è la funzione. aiuto
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