Teorema di Weierstrass
Salve a tutti,
non riesco a capire la prima parte della dimostrazione del Teorema di Weierstrass.
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]. Allora la funzione assume valore massimo e valore minimo in [a,b].
Allora, vi posto i passaggi che mi ritrovo nei miei appunti( e, tra l'altro, sul libro di analisi che uso):
poniamo M=sup f(x) per ogni x appartenente ad [a,b].
Dobbiamo dimostrare che esista una successione xn di punti di [a,b] / f(xn)->M
Ora c'è il passaggio che mi manda un pò in confusione.
Se M=+inf
per la proprietà dell'estremo superiore: per ogni n>0 esiste xn appartenente ad [a,b]/ f(xn)>n e perciò $ lim_(n -> +00) f(xn)= +00 $ ovvero f(xn)->M
Per quale motivo devo dimostrare che la funzione è illimitata superiormente?
Grazie anticipatamente.
non riesco a capire la prima parte della dimostrazione del Teorema di Weierstrass.
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]. Allora la funzione assume valore massimo e valore minimo in [a,b].
Allora, vi posto i passaggi che mi ritrovo nei miei appunti( e, tra l'altro, sul libro di analisi che uso):
poniamo M=sup f(x) per ogni x appartenente ad [a,b].
Dobbiamo dimostrare che esista una successione xn di punti di [a,b] / f(xn)->M
Ora c'è il passaggio che mi manda un pò in confusione.
Se M=+inf
per la proprietà dell'estremo superiore: per ogni n>0 esiste xn appartenente ad [a,b]/ f(xn)>n e perciò $ lim_(n -> +00) f(xn)= +00 $ ovvero f(xn)->M
Per quale motivo devo dimostrare che la funzione è illimitata superiormente?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Quello che devi fare è escludere la possibilità che $M=+\infty$: allora applichi una dimostrazione per assurdo e fai vedere che esiste una successione per cui la funzione tende a $+\infty$... ma questa cosa è possibile? (ricorda le ipotesi sulla funzione)
Allora,
non vorrei dire "baggianate"(ci provo
) ma avendo detto che è continua su [a,b] sto affermando che
$ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $
Quindi, se ci fosse un punto in cui il limite sarebbe uguale a infinito, si avrebbe una discontinuità: per cui, dimostrando per assurdo che
M=+inf
e che ci sia una successione in grado di raggiungere +inf, direi che la funzione non è continua. E' così?
non vorrei dire "baggianate"(ci provo
) ma avendo detto che è continua su [a,b] sto affermando che $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $
Quindi, se ci fosse un punto in cui il limite sarebbe uguale a infinito, si avrebbe una discontinuità: per cui, dimostrando per assurdo che
M=+inf
e che ci sia una successione in grado di raggiungere +inf, direi che la funzione non è continua. E' così?
Esatto! 
"ciampax":
Esatto!
Era così semplice che ci ho messo 3 mesi per capirlo -.-'
E' assurdo la mente umana che soluzioni complicate si va a ricercare xD
Grazie!!
Tu hai mostrato l'esistenza di una successione di punti [tex]\{x_n\}_{n \in \mathbb N}[/tex] tali che [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = +\infty[/tex], procedendo per assurdo.
Ma l'assurdo non salta fuori se prima non fai vedere in qualche modo che non è restrittivo supporre che esista [tex]y \in [a,b][/tex] tale che [tex]\displaystyle \lim_{n \to+\infty} x_n = y[/tex] (altrimenti non sai dove applicare la continuità!).
Sai anche giustificare questo fatto?
P.S.
Tu adesso dici così, ma tra qualche anno ti sembrerà la cosa più naturale del mondo! xD
Ma l'assurdo non salta fuori se prima non fai vedere in qualche modo che non è restrittivo supporre che esista [tex]y \in [a,b][/tex] tale che [tex]\displaystyle \lim_{n \to+\infty} x_n = y[/tex] (altrimenti non sai dove applicare la continuità!).
Sai anche giustificare questo fatto?
P.S.
"Fabiowd1990":
E' assurdo la mente umana che soluzioni complicate si va a ricercare xD
Tu adesso dici così, ma tra qualche anno ti sembrerà la cosa più naturale del mondo! xD
"maurer":
Tu hai mostrato l'esistenza di una successione di punti [tex]\{x_n\}_{n \in \mathbb N}[/tex] tali che [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = +\infty[/tex], procedendo per assurdo.
Ma l'assurdo non salta fuori se prima non fai vedere in qualche modo che non è restrittivo supporre che esista [tex]y \in [a,b][/tex] tale che [tex]\displaystyle \lim_{n \to+\infty} x_n = y[/tex] (altrimenti non sai dove applicare la continuità!).
Sai anche giustificare questo fatto?
Onestamente in questo momento non mi viene granchè in mente.
Stavo pensando che una successione monotona limitata è convergente, ma non mi sembra sia questo il caso.
Pensavo poi che essendo $x_n$ limitata, per il teorema di Bolzano Weierstrass ammette una sua estratta convergente, ma qui mi sembra che sia $x_n$ a dover convergere, non $x_n_k$...è così?
"maurer":
[quote="Fabiowd1990"]
E' assurdo la mente umana che soluzioni complicate si va a ricercare xD
Tu adesso dici così, ma tra qualche anno ti sembrerà la cosa più naturale del mondo! xD
[/quote]
Mi riferivo alla mia mente, che divagava in chissà quale mare per cercare di capire cosa mi volesse dire il libro ponendo M=+inf
No, hai fatto centro: Bolzano Weierstrass ti consente di concludere. Infatti, non ti interessa davvero la successione [tex]x_n[/tex], ma solo il fatto che [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = +\infty[/tex]. Se a [tex]x_n[/tex] sostituisci una sua sottosuccessione, la proprietà è banalmente mantenuta. Quindi sei libero di sostituire a [tex]x_n[/tex] una sua sottosuccessione, in particolare la puoi scegliere convergente.
E questo ti consente davvero di concludere!
Prima non avevo capito, pensavo fosse un commento sulla dimostrazione!
E questo ti consente davvero di concludere!
Prima non avevo capito, pensavo fosse un commento sulla dimostrazione!
Wow, pensavo che con un post avessi assassinato gli ultimi 840 anni della storia della matematica, invece per una volta non ho nemmeno torto!
Comunque il mio professore(ed in effetti, anche il libro che ci ha dato da seguire) non dicono nè che sia un assurdo, nè immettono il teorema di Bolzano Weierstrass per poter giustificare questo fatto ed è per questo che non riuscivo a capire il perchè di questo M=+inf.
Il mio libro(Marcellini-Sbordone) per dimostrarlo fa così:
M=sup{f(x) / x€ [a,b]}
Verifichiamo che esista una successione $x_n in [a,b] $ tale che $lim_(n -> oo ) f(x_n)=M$
Se M=+inf per la proprietà dell'estremo superiore per ogni $n in N$ esiste $x_n in[a,b]$ tale che $ f(x_n)>n $ per cui $f(x_n)->M = +oo$
Ecco tutto.
Dal dibattito qui sul forum, mi risulta tutto di più semplice comprensione.
Comunque il mio professore(ed in effetti, anche il libro che ci ha dato da seguire) non dicono nè che sia un assurdo, nè immettono il teorema di Bolzano Weierstrass per poter giustificare questo fatto ed è per questo che non riuscivo a capire il perchè di questo M=+inf.
Il mio libro(Marcellini-Sbordone) per dimostrarlo fa così:
M=sup{f(x) / x€ [a,b]}
Verifichiamo che esista una successione $x_n in [a,b] $ tale che $lim_(n -> oo ) f(x_n)=M$
Se M=+inf per la proprietà dell'estremo superiore per ogni $n in N$ esiste $x_n in[a,b]$ tale che $ f(x_n)>n $ per cui $f(x_n)->M = +oo$
Ecco tutto.
Dal dibattito qui sul forum, mi risulta tutto di più semplice comprensione.
Riporto, in conclusione, la dimostrazione più bella di questo fatto, nonché quella che mi fu data alle superiori quando chiesi delucidazioni al mio insegnante (ovviamente non avevo capito all'epoca, ma già sembrava figa!)
Si ricordi che l'immagine di un compatto è un compatto.
"maurer":
Si ricordi che l'immagine di un compatto è un compatto
Una frase tipo "M'illumino d'immenso", che nel suo piccolo racchiude un bel significato
Grazie mille ad entrambi, senza questo forum starei ancora a tormentarmi!!!
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