Teorema di weierstrass

fra017
oggi ad analisi I abbiamo fatto il teorema di weierstrass, rivedendolo sul libro ci sono alcuni punti che non capisco.

1) all'inizio vuole dimostrare che M che è l'estremo sup., è uguale al limite di n-> +inf di $f(x_n)$. la mia domanda è: è possibile che M sia l'estremo sup nel momento in cui non converge? cioè perche il max c'è per forza quando converge? e non ho capito perche $M<\infty$ per forza

2) alla fine introduce il teorema di bolzano-weierstrass per dimostrare che esiste un'estratta $x_n_k$ che tende ad un certo $x_o$ e poichè è continua anche le rispettive immagini. non ho capito il passaggio, perchè $M=f(x_0)$?

Risposte
shaducci
Anche io oggi ho fatto questo teorema. Non ho capito nulla ed il libro è totalmente incomprensibile. Qualcuno potrebbe darmi(ci) una mano?

Rigel1
Partiamo da una funzione $f:K\to\mathbb{R}$, con $K$ compatto (caso semplice: $K = [a,b]$ intevallo chiuso e limitato).
Indipendentemente dal fatto che $M$ sia finito o $+\infty$, è possibile, a partire dalla definizione di estremo superiore, costruire una succesisone $(x_n)\subset K$
tale che $f(x_n) \to M = "sup" \{f(x): x\in K\}$.
A questo punto si usa il teorema di Bolzano-Weierstrass (e qui si usa l'ipotesi di compattezza); esiste dunque una sottosuccessione $(x_{n_k})$ convergente a $x_0\in k$.
Poiché $f$ è continua, avremo che $\lim_k f(x_{n_k}) = f(x_0)$.
D'altra parte, poiché la successione $(f(x_n))_n$ converge a $M$ per costruzione, anche la sottosuccessione $(f(x_{n_k}))_k$ convergerà a $M$; concludiamo quindi che $M=f(x_0)$. In particolare, $M$ è finito e $f$ ammette massimo in $K$, dal momento che $f(x_0) = M = "sup"...$.

fra017
non ho fatto i compatti...puoi spiegarmelo senza?

Rigel1
pensa $K=[a,b]$, lascia perdere i compatti.

fra017
uhm...ti ripropongo le domande del mio primo post perche non ho capito..

gugo82
Spiegheresti cosa di preciso non ti è chiaro?
(Scusa se mi intrometto Rigel...)

fra017
per k intendo tutto il dominio [a,b]? non l'ho fatto con i numeri compatti e cercavo di capire sul libro mio la spiegazione ma non la capisco. la dimostrazione si sviluppa prima a dimostrare che c'è un est.sup. m a cui tende la successione, e poi usa bolzano weierstrass per dimostrare che un'estratta tente a $f(x_0)$ che è uguale a M

Rigel1
Esatto. Nel mio primo post, dove vedi scritto $K$ sostituisci $[a,b]$.

Hai problemi nella prima parte (esistenza di una successione $(x_n)$ t.c $f(x_n)\to M$) o nella seconda (Bolzano-Weierstrass e compagnia)?

@gugo: intromettiti pure...

fra017
quando dici che la sottosuccessione converge a M per costruzione vuol dire che lo ipotizzi tu? e a che serve il secondo passaggio quello in cui applichi bolzano-weierstrass? nella prima parte invece alla fine non si esclude $M=\infty$ ma si lascia solo da parte diciamo giusto?

Rigel1
Definisci $M = "sup" \{f(x): x\in [a,b]\}$.

Hai due casi:

1) $M=+\infty$. Allora, per ogni $n\in\mathbb{N}$, esiste $x_n\in [a,b]$ t.c. $f(x_n) \ge n$. Per il criterio del confronto per i limiti concludi che $\lim_n f(x_n) = +\infty$.

2) $M\in\mathbb{R}$. Allora, per ogni $n\in\mathbb{N}$, esiste $x_n\in [a,b]$ t.c.
$M-\frac{1}{n} \le f(x_n) \le M$.
(Usi la definizione di estremo superiore con $\epsilon = \frac{1}{n}$.)
Anche in questo caso, per il teorema del confronto, hai che $\lim_n f(x_n) = M$.

Come vedi, in entrambi i casi hai costruito una successione $(x_n)\subset [a,b]$ t.c. $\lim_n f(x_n) = M$.

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